線形代数の問題

1. 固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 1\\ -1& 1-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda )(1-\lambda )+1={\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$$
よって固有値は $\lambda =2$（重解）だけである。

2. 固有ベクトルを求める。
$$A-2E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$
より $(A-2E)\mathbf{x}=0$ は $x+y=0$ となる。固有空間は 1 次元で、基底として ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ がとれる。固有ベクトルが 1 本しかないので $A$ は対角化できず、ジョルダン標準形は
$$J=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$$
となる。

3. 一般化固有ベクトルを求める。
$(A-2E){\mathbf{v}}_2={\mathbf{v}}_1$ を満たす ${\mathbf{v}}_2$ を探す。これは $x+y=1$ となるので、${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ がとれる。このとき $A{\mathbf{v}}_1=2{\mathbf{v}}_1$、$A{\mathbf{v}}_2={\mathbf{v}}_1+2{\mathbf{v}}_2$ が成り立つ。

4. 変換行列を作る。
$$P=({\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$
とおくと $AP=PJ$、つまり $A=PJ{P}^{-1}$ である。$\det P=1\cdot 0-1\cdot (-1)=1$ より
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$
となる。（検算：$A{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)={\mathbf{v}}_1+2{\mathbf{v}}_2$ が成り立っている。）

5. $J^n$ を求める。
$J=2E+N$、$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ とおく。$2E$ と $N$ は可換で $N^2=O$ であるから、二項定理により
$$J^n=(2E{)}^n+n(2E{)}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$$
となる。

6. $A^n=P{J}^n{P}^{-1}$ を計算する。
$$P{J}^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n{2}^{n-1}+2^n\\ -2^n& -n{2}^{n-1}\end{array}\right)$$
これに右から $P^{-1}$ を掛けると、$(1,1)$ 成分は
$$2^n\cdot 0+(n{2}^{n-1}+2^n)\cdot 1=n{2}^{n-1}+2\cdot 2^{n-1}=(n+2)\cdot 2^{n-1}$$
となる。

（確認：$n=1$ のとき $3\cdot 1=3$ で $A$ の $(1,1)$ 成分に一致する。$n=2$ のとき $A^2$ の $(1,1)$ 成分は $9-1=8$ で、$4\cdot 2=8$ に一致する。）

答え：$(n+2)\cdot 2^{n-1}$

特性多項式は $\det (A-\lambda I)=(3-\lambda )(1-\lambda )+1={\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$ なので、固有値は $2$（重解）である。
$A-2I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$ は零行列でないので、固有空間は 1 次元で対角化できない。

ジョルダン標準形は $J=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ である。

$N=A-2I$ とおくと $N^2=0$ である（$N^2=\left(\begin{array}{cc}1-1& 1-1\\ -1+1& -1+1\end{array}\right)=0$）。これは $A=PJ{P}^{-1}$ における $J-2I$ のべき零性に対応する。

$A=2I+N$ で $2I$ と $N$ は可換なので、二項定理より
$$A^n=2^{n}I+n{2}^{n-1}N.$$

$(1,1)$ 成分は $2^n+n{2}^{n-1}\cdot 1=2^{n-1}(n+2)$ である。

検算：$n=1$ のとき $2^0\cdot 3=3$ で、$A$ の (1,1) 成分と一致する。$n=2$ のとき $A^2=\left(\begin{array}{cc}9-1& 3+1\\ -3-1& -1+1\end{array}\right)$ より (1,1) 成分は $8$。公式では $2\cdot 4=8$ で一致する。