線形代数の問題

$A$ を対角化して $e^{tA}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$ を使う。

1. 固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$$
よって固有値は $\lambda =5,2$ である。異なる 2 つの固有値をもつので、$A$ は対角化できる。

2. 固有ベクトルを求める。
- $\lambda =5$：$A-5E=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)$ より $-x+y=0$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ をとる。
- $\lambda =2$：$A-2E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ より $2x+y=0$。固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ をとる。

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$、$D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ とおくと $A=PD{P}^{-1}$ である。$\det P=-2-1=-3$ なので
$$P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

3. $e^{tA}$ を計算する。
$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ なので、指数関数の級数の定義 $e^{tA}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{t^n}{n!}{A}^n$ から
$$e^{tA}=P{e}^{tD}{P}^{-1},e^{tD}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{5t}& 0\\ 0& e^{2t}\end{array}\right)$$
となる。まず
$$P{e}^{tD}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{5t}& e^{2t}\\ e^{5t}& -2e^{2t}\end{array}\right)$$
である。これに $P^{-1}$ を右から掛けたときの $(2,1)$ 成分は、$P{e}^{tD}$ の第 2 行 $(e^{5t},-2e^{2t})$ と $P^{-1}$ の第 1 列 ${\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}^{\mathsf{T}}$ の積なので
$$e^{5t}\cdot \frac{2}{3}+(-2e^{2t})\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(e^{5t}-e^{2t}\right)$$

4. 確かめ。
$t=0$ のとき $0$ となり、$e^{0A}=E$ の $(2,1)$ 成分 $0$ と一致する。また、$t$ で微分して $t=0$ とおくと $\frac{2}{3}(5-2)=2$ となり、$\frac{d}{dt}{e}^{tA}{|}_{t=0}=A$ の $(2,1)$ 成分 $2$ と一致する。

答え：$\frac{2}{3}\left(e^{5t}-e^{2t}\right)$

$A$ の固有多項式は ${\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$ なので、固有値は $2,5$。

固有値 $5$ の固有ベクトル：$(A-5I)v=0$ より $-v_1+v_2=0$ なので $(1,1{)}^T$。
固有値 $2$ の固有ベクトル：$(A-2I)v=0$ より $2v_1+v_2=0$ なので $(1,-2{)}^T$。

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$（第1列が固有値5、第2列が固有値2）とおく。$\det P=-3$、$P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

$e^{tA}=P\mathrm{diag}(e^{5t},e^{2t})P^{-1}$。

$(2,1)$ 成分は、$P$ の第2行 $(1,-2)$ と対角行列、$P^{-1}$ の第1列 $(2/3,1/3{)}^T$ から
$1\cdot e^{5t}\cdot \frac{2}{3}+(-2)\cdot e^{2t}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}(e^{5t}-e^{2t})$。

検算：$t$ の1次の項は $\frac{2}{3}(5t-2t)=2t$ で、$A$ の $(2,1)$ 成分 $2$ と一致する。$t=0$ では $0$ で単位行列の $(2,1)$ 成分と一致する。

別の方法として、$e^{tA}=\frac{e^{5t}-e^{2t}}{3}A+\frac{5e^{2t}-2e^{5t}}{3}I$ より $(2,1)$ 成分は $\frac{e^{5t}-e^{2t}}{3}\cdot 2$ となり一致する。