線形代数

扱うテーマ: 行列式の計算（文字を含む行列式・ヴァンデルモンド型）、連立 1 次方程式と行列の階数、部分空間の次元・基底・核と像の次元、固有値・固有ベクトル・対角化と行列の累乗、ジョルダン標準形・最小多項式、内積空間・直交射影・グラム・シュミットの直交化、2 次形式の標準形・符号

難易度の目安（大学数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の演習問題レベル
難易度 3 期末試験の応用レベル
難易度 4 大学院入試の標準レベル
難易度 5 大学院入試の難問・数学コンテストレベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
実数を成分とする 2 次正方行列
$A = (4232)$
について、逆行列 $A^{- 1}$ の $(1, 2)$ 成分（1 行目・2 列目の成分）を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数を成分とする 2 次正方行列
$A = (4235)$
は逆行列 $A^{- 1}$ をもつ。 $A^{- 1}$ の $(2, 1)$ 成分（2 行 1 列目の成分）を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の線形変換 $f$ を「原点のまわりに正の向き（反時計回り）に $\frac{π}{2}$ だけ回転する変換」とし、線形変換 $g$ を「 $x$ 座標を $2$ 倍、 $y$ 座標を $3$ 倍する変換」とする。 $f$ を行ったあとに $g$ を行う合成変換 $g \circ f$ を行列の積で表し、点 $(1, 2)$ の $g \circ f$ による像の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の線形変換 $f$ , $g$ を次のように定める。
- $f$ ：原点を中心とする角 $\frac{π}{3}$ の回転（反時計回り）
- $g$ ：点 $(x, y)$ を点 $(3 x, y)$ に移す変換（ $x$ 軸方向に $3$ 倍する拡大）
合成変換 $g \circ f$ （まず $f$ 、次に $g$ を行う変換）を表す行列を求め、それを用いて点 $(4, 2)$ の $g \circ f$ による像の座標を求めよ。答えは座標の組 $(X, Y)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y, z$ を実数とする。連立 1 次方程式 $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x + 3 y + z = 11 x + 2 y + 3 z = 14$ を、拡大係数行列に行基本変形（掃き出し法）を行って解け。解を組 $(x, y, z)$ で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y, z$ を実数とする。連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 4 2 x + 3 y + z = 4 x + 2 y + 3 z = 9$
を、拡大係数行列に行基本変形を行う掃き出し法で解け。解を $(x, y, z)$ の組で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数の未知数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ についての連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} + x_{5} = 3 2 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + x_{4} + 3 x_{5} = 7 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 2 x_{5} = 4$
を考える。係数行列を $A$ 、拡大係数行列を $A ~$ とする。 $rank A$ 、 $rank A ~$ 、および解の自由度（解が存在するときの $5 - rank A$ 、すなわち一般解に含まれる任意定数の個数）を、この順に組 $(rank A, rank A ~, 自由度)$ で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ についての連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 3 2 x_{1} + 4 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 7 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 5$
を考える。係数行列を $A$ 、拡大係数行列を $A ~$ とする。 $rank A$ 、 $rank A ~$ 、および解の自由度（一般解に含まれる任意定数の個数）をこの順に組 $(rank A, rank A ~, 自由度)$ で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数を成分とする 3 次正方行列
$A = 101112012$
について、行列 $(A ∣ E)$ （ $E$ は 3 次の単位行列）に行基本変形を行って $A$ が正則であることを確かめ、逆行列 $A^{- 1}$ を求めよ。そのうえで、 $A^{- 1}$ の $(1, 1)$ 成分、 $(1, 2)$ 成分、 $(1, 3)$ 成分をこの順に組で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = 101212112$
は正則である。行列 $(A ∣ E)$ に行基本変形を行う掃き出し法で逆行列 $A^{- 1}$ を求めよ。答えは、 $A^{- 1}$ の第 $1$ 行の $3$ つの成分を左から順に並べた組 $(p, q, r)$ の形で書け。ただし $E$ は $3$ 次の単位行列とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の 4 次の行列式の値を求めよ。 $1021211000303214$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の行列式の値を求めよ。 $213 - 1 02 341$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y, z$ を実数とする。連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 4 2 x + y - z = 1 x - y + 2 z = 3$
について、クラメルの公式を用いて $y$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y, z$ を実数とする。連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y + z = 3 x + 3 y + 2 z = 2 x + z = 3$
について、クラメルの公式を用いて $y$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $R^{3}$ の 3 つのベクトル
$v_{1} = 112, v_{2} = 123, v_{3} = 21 a$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数とする。 $R^{3}$ の 3 つのベクトル
$v_{1} = 112, v_{2} = 123, v_{3} = 21 a$
が一次従属になるような $a$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
線形写像 $f : R^{5} \to R^{3}$ を $f (x) = A x$ で定める。ただし
$A = 121242011132121$
とする。像 $Im f$ の次元と核 $ker f$ の次元を求め、 $(dim Im f, dim ker f)$ の順に組で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
線形写像 $f : R^{4} \to R^{3}$ を $f (x) = A x$ で定める。ただし
$A = 121242011132$
とする。核 $ker f$ の次元と像 $Im f$ の次元を、 $(dim ker f, dim Im f)$ の順の組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{2}$ の線形変換 $f$ は、標準基底に関する表現行列が
$A = (2013)$
であるとする。 $u_{1} = (11), u_{2} = (12)$ とし、基底 ${u_{1}, u_{2}}$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。 $B$ の $(1, 2)$ 成分を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{2}$ の線形変換 $f$ を $f (x) = A x$ 、
$A = (3212)$
で定める。 $R^{2}$ の基底
$p_{1} = (11), p_{2} = (12)$
に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。すなわち $B$ は
$(f (p_{1}) f (p_{2})) = (p_{1} p_{2}) B$
を満たす $2$ 次正方行列である。 $B$ の $(1, 2)$ 成分を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = (4213)$
の固有値を $α, β$ （ $α < β$ ）とする。また、固有値 $α$ に対する固有空間 $W (α)$ の基底を、第 1 成分が $1$ のベクトル $(1 c)$ で表す。組 $(α, β, c)$ をこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列 $A = (1322)$ について考える。 $A$ の固有値のうち大きい方を $λ_{1}$ とする。 $λ_{1}$ に対する固有空間は、ある実数 $k$ を用いて $(1 k)$ を基底としてもつ。 $λ_{1}$ と $k$ を、この順に組 $(λ_{1}, k)$ で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列 $A = (4213)$ について、 $n$ を正の整数とするとき、 $A^{n}$ の $(2, 1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列 $A = (4213)$ について、 $n$ を正の整数とするとき、 $A^{n}$ の $(1, 2)$ 成分を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$E$ を 2 次単位行列とし、
$A = (1322)$
とする。 $A^{4} = p A + q E$ を満たす実数 $p, q$ はただ 1 組に定まる。 $p, q$ の値を組 $(p, q)$ の形で、この順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$E$ を 2 次単位行列とし、
$A = (1 - 1 24)$
とする。ケーリー・ハミルトンの定理を用いて、
$A^{4} = p A + q E$
を満たす実数 $p, q$ を求めよ。答えは組 $(p, q)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = (41 - 1 2)$
について考える。 $A$ のジョルダン標準形を用いて、正の整数 $n$ に対する $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = (3 - 1 11)$
は対角化できない。 $A$ のジョルダン標準形を利用して、正の整数 $n$ に対する $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ の実数係数の多項式で次数が $1$ 以下のもの全体のなす実線形空間を $V$ とし、 $V$ に内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x$
を考える。 $V$ の基底 $1, x$ にこの順でグラム・シュミットの直交化を適用して、正規直交基底 $e_{1}, e_{2}$ を作る。 $e_{2}$ を $x$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数係数の $x$ の多項式で次数が $1$ 以下のもの全体のなす実線形空間 $V$ に、内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x$
を考え、ノルムを $∥ f ∥ = ⟨ f, f ⟩$ と定める。 $V$ の基底 $f_{1} (x) = 1, f_{2} (x) = x$ に、この順にグラム・シュミットの直交化
$e_{1} = \frac{f _{1}}{∥ f _{1} ∥}, e_{2} = \frac{f _{2} - ⟨ f _{2} , e _{1} ⟩ e _{1}}{∥ f _{2} - ⟨ f _{2} , e _{1} ⟩ e _{1} ∥}$
を行って、正規直交基底 $e_{1}, e_{2}$ を作る。このとき $e_{2} (1)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y$ 平面上の 4 点 $(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 4)$ に、直線 $y = a + b x$ を最小二乗法であてはめる。すなわち、実数 $a, b$ を動かして
$S (a, b) = i = 1 \sum 4 (y_{i} - (a + b x_{i}))^{2}$
を最小にする。ここで $(x_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, 3, 4)$ は上の 4 点である。 $S (a, b)$ を最小にする $a, b$ を、組 $(a, b)$ の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上の 4 点 $(0, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 4)$ に、直線 $y = a + b x$ （ $a, b$ は実数）を最小二乗法であてはめる。すなわち、 $S (a, b) = i = 1 \sum 4 (y_{i} - (a + b x_{i}))^{2}$ を最小にする実数 $a, b$ を求める。ここで $(x_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, 3, 4)$ は上の 4 点である。
$A = 11110123, b = 1224, x = (a b)$ とおくと、 $S (a, b) = ∥ A x - b ∥^{2}$ （ $∥ \cdot ∥$ は $R^{4}$ の標準内積によるノルム）である。正規方程式 $A^{T} A x = A^{T} b$ を解いて、 $S (a, b)$ を最小にする $a, b$ を組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実対称行列 $A = (2225)$ を、回転行列 $P = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ を用いて $^{t} P A P = (λ_{1} 0 0 λ_{2}) (λ_{1} > λ_{2})$ と直交対角化する。このとき $(cos θ, sin θ)$ をこの順に組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実対称行列
$A = (4332)$
を考える。実数 $θ$ が $0 \leq θ < π$ を満たし、回転行列
$P = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$
によって
$^{t} P A P = (5001)$
が成り立つとき、 $θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y$ 平面上の曲線
$C : 5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 6$
を考える。左辺の 2 次形式を直交変換（回転）で標準形に直すと、 $C$ は楕円であることがわかる。この楕円の長半径（長軸の長さの半分）と短半径（短軸の長さの半分）を、この順に組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ についての 2 次形式
$Q (x, y) = 5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}$
を考える。 $Q$ を直交変換によって標準形に直し、その符号を調べることで、 $x y$ 平面上の曲線 $Q (x, y) = 6$ の形を調べる。この曲線は楕円になる。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $t$ の関数 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ が、連立線形微分方程式
${x_{1}^{'} (t) = x_{1} (t) + 2 x_{2} (t) x_{2}^{'} (t) = 2 x_{1} (t) + x_{2} (t)$
と初期条件 $x_{1} (0) = 3, x_{2} (0) = 1$ を満たすとする。行列 $A = (1221)$ を対角化して $e^{t A}$ を求めることにより、 $x_{1} (t)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $t$ の関数 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ が、連立線形微分方程式
${x_{1}^{'} (t) = x_{1} (t) + 2 x_{2} (t) x_{2}^{'} (t) = 2 x_{1} (t) + x_{2} (t)$
と初期条件 $x_{1} (0) = 3, x_{2} (0) = 1$ を満たすとする。行列 $A = (1221)$ を対角化して $e^{t A}$ を求め、それを用いて $x_{1} (t)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の線形変換 $f$ , $g$ を次のように定める。
- $f$ ：直線 $y = x$ への正射影（点 $P$ を、 $P$ から直線 $y = x$ に下ろした垂線の足へ移す変換）
- $g$ ：原点を中心とする角 $\frac{π}{2}$ の回転（反時計回り）
まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g \circ f$ による点 $(4, 2)$ の像の座標を求めよ。答えは座標 $(x, y)$ の形で書け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の線形変換 $f$ , $g$ を次のように定める。
- $f$ ：直線 $y = x$ に関する対称移動
- $g$ ：原点を中心として正の向き（反時計回り）に $\frac{π}{6}$ だけ回転する変換
まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g \circ f$ によって、点 $(2, 4)$ が移る点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の線形変換 $f$ , $g$ を次のように定める。
- $f$ ：点を直線 $y = x$ に下ろした垂線の足に移す変換（直線 $y = x$ への正射影）
- $g$ ：原点を中心として、正の向き（反時計回り）に $\frac{π}{2}$ だけ回転する変換
点 $P (3, 1)$ に $f$ を行い、続けて $g$ を行って得られる点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = 101210121$
について、余因子行列を用いて、逆行列 $A^{- 1}$ の $(2, 3)$ 成分を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = 102210031$
は正則である。余因子行列を用いて、逆行列 $A^{- 1}$ の $(2, 3)$ 成分を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = 103210121$
は正則である。余因子行列を用いて、逆行列 $A^{- 1}$ の $(2, 3)$ 成分を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{4}$ の部分空間 $W$ を、次の連立 1 次方程式の解全体として定める。
$W = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \in R^{4} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0 2 x_{1} + 2 x_{3} = 0 ⎭ ⎬ ⎫$
$W$ の次元 $dim W$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{4}$ の部分空間 $W$ を、次の連立 1 次方程式の解全体として定める。
$W = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \in R^{4} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 2 x_{1} + 4 x_{2} - x_{3} + 3 x_{4} = 0 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{4} = 0 ⎭ ⎬ ⎫$
$W$ の次元 $dim W$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{4}$ の部分空間 $W$ を次のように定める。
$W = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \in R^{4} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} 2 x_{1} + 3 x_{3} + x_{4} = 0 = 0 = 0 ⎭ ⎬ ⎫$
$W$ の次元 $dim W$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数係数で次数が $3$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $f : V \to R^{3}$ を
$f (p) = p (0) p (1) p (- 1)$
で定める。 $dim ker f$ と $dim Im f$ をこの順に求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
線形写像 $f : R^{3} \to R^{3}$ を
$f x y z = x + 2 y + z 2 x + 4 y + 3 z x + 2 y + 2 z$
で定める。核 $ker f$ の次元と像 $Im f$ の次元を、この順に組 $(dim ker f, dim Im f)$ の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
線形写像 $f : R^{3} \to R^{3}$ を
$f x y z = x + 2 y - z 2 x + 4 y - 2 z x + y + z$
で定める。核 $ker f$ の次元と像 $Im f$ の次元を、この順に組 $(dim ker f, dim Im f)$ で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{2}$ の線形変換 $f$ を
$f (x y) = (x + 2 y 3 x) (x, y は実数)$
で定める。 $R^{2}$ の基底
$u_{1} = (11), u_{2} = (12)$
に関する $f$ の表現行列を $B = (b_{11} b_{21} b_{12} b_{22})$ とする。 $(1, 2)$ 成分 $b_{12}$ と $(2, 2)$ 成分 $b_{22}$ をこの順に組 $(b_{12}, b_{22})$ で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数を係数とする $1$ 次以下の多項式全体のなすベクトル空間を $V$ とする。線形写像 $f : V \to V$ を
$f (p) (x) = p (x) + 2 p^{'} (x)$
で定める。 $V$ の基底 ${1, x}$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とし、基底 ${1, x}$ から新しい基底 ${1 + x, 1 - x}$ への基底の取りかえ行列を $P$ とする。基底 ${1 + x, 1 - x}$ に関する $f$ の表現行列を $B = P^{- 1} A P$ とするとき、 $B$ の $(1, 2)$ 成分と $(2, 1)$ 成分をこの順に組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{2}$ の線形変換 $f$ の、標準基底 ${e_{1}, e_{2}}$ に関する表現行列が
$A = (3 - 1 11)$
であるとする。ベクトル
$u_{1} = (11), u_{2} = (12)$
からなる基底 ${u_{1}, u_{2}}$ に関する $f$ の表現行列を $B = (b_{11} b_{21} b_{12} b_{22})$ とする。 $B$ の $(1, 2)$ 成分 $b_{12}$ と $(2, 1)$ 成分 $b_{21}$ を、この順に組 $(b_{12}, b_{21})$ で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${x_{n}}$ , ${y_{n}}$ が
$x_{0} = 3, y_{0} = 1, x_{n + 1} = x_{n} + y_{n}, y_{n + 1} = - x_{n} + 3 y_{n} (n = 0, 1, 2, \dots)$
で定められている。行列 $A = (1 - 1 13)$ は対角化できない。 $A$ のジョルダン標準形を利用して、0 以上の整数 $n$ に対する $x_{n}$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
行列
$A = (1 - 1 45)$
は対角化できない。 $A$ のジョルダン標準形と変換行列を用いて、正の整数 $n$ に対する $A^{n}$ の $(1, 2)$ 成分を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数係数の $x$ の多項式で次数が $2$ 以下のもの全体のなす実線形空間を $V$ とし、 $V$ に内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x$
を考える。ノルムは $∥ f ∥ = ⟨ f, f ⟩$ とする。
$V$ の基底 $1, x, x^{2}$ にこの順でグラム・シュミットの直交化（正規化はしない）を行い、直交基底 $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ を
$g_{1} = 1, g_{2} = x - \frac{⟨ x , g _{1} ⟩}{⟨ g _{1} , g _{1} ⟩} g_{1}, g_{3} = x^{2} - \frac{⟨ x ^{2} , g _{1} ⟩}{⟨ g _{1} , g _{1} ⟩} g_{1} - \frac{⟨ x ^{2} , g _{2} ⟩}{⟨ g _{2} , g _{2} ⟩} g_{2}$
で定める。 $∥ g_{3} ∥$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$R^{2}$ の列ベクトル $x = (x_{1} x_{2})$ , $y = (y_{1} y_{2})$ に対して
$⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$
と定めると、これは $R^{2}$ の内積になる。ノルムを $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ とする。この内積に関して、基底
$a_{1} = (11), a_{2} = (10)$
に $a_{1}, a_{2}$ の順でグラム・シュミットの直交化を行って正規直交基底 $e_{1}, e_{2}$ を作る。 $e_{2}$ の第 1 成分と第 2 成分をこの順に組で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ についての 2 次形式
$Q (x, y) = x^{2} + 6 x y + y^{2}$
を考える。 $Q$ を直交変換（回転）によって標準形に直すと、 $x y$ 平面上の曲線 $Q (x, y) = 8$ は双曲線であることがわかる。この双曲線の 2 つの頂点の間の距離を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y$ 平面上の曲線
$C : 3 x^{2} + 8 x y + 3 y^{2} = 14$
を考える（ $x, y$ は実数）。左辺の 2 次形式を直交変換で標準形に直すと、 $C$ は双曲線であることがわかる。 $C$ の 2 つの頂点の間の距離を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x, y$ についての 2 次形式
$Q (x, y) = 3 x^{2} + 8 x y - 3 y^{2}$
を考える。 $Q$ を直交変換（回転）によって標準形に直すと、 $x y$ 平面上の曲線
$C : 3 x^{2} + 8 x y - 3 y^{2} = 10$
は双曲線であることがわかる。この双曲線 $C$ の 2 つの頂点の間の距離を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $t$ の関数 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ が、連立線形微分方程式
${x_{1}^{'} (t) = 4 x_{1} (t) + x_{2} (t) x_{2}^{'} (t) = 2 x_{1} (t) + 3 x_{2} (t)$
と初期条件 $x_{1} (0) = 1, x_{2} (0) = 4$ を満たすとき、 $x_{1} (t)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $t$ に対して、行列
$A = (4213)$
の指数関数 $e^{t A}$ を考える。 $e^{t A}$ の $(2, 1)$ 成分を $t$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $t$ に対して、行列
$A = (4213)$
の指数関数 $e^{t A} = k = 0 \sum \infty \frac{t ^{k}}{k !} A^{k}$ を考える。 $A$ を対角化して $e^{t A}$ を計算し、その $(1, 2)$ 成分を $t$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $x = (x_{1} x_{2}) \in C^{2}$ に対して、エルミート形式
$h (x) = x^{*} H x, H = (1 - 3 i 3 i 1)$
を考える。ここで $x^{*}$ は $x$ の共役転置である。 $h$ の符号数を $(p, q)$ （ $p$ は $H$ の正の固有値の個数、 $q$ は負の固有値の個数。重複は重複度だけ数える）とするとき、組 $(p, q)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ に標準内積を考える。ベクトル
$a_{1} = 1111, a_{2} = 1 - 1 02, b = 2015$
に対し、 $a_{1}, a_{2}$ で張られる部分空間を $W$ とする。 $b$ と $W$ の距離、すなわち $w$ が $W$ 全体を動くときの $∥ b - w ∥$ の最小値を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x, y, z$ についての連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z = 1 x + a y + z = 1 a x + y + z = - 2$
が無数の解をもつような $a$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$x$ を実数とする。次の行列式を $x$ の式で求めよ。
$1111124813927 1 x x^{2} x^{3}$
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{3}$ に標準内積を考え、
$a_{1} = 110, a_{2} = 011, b = 123$
とする。 $a_{1}, a_{2}$ の張る部分空間を $W$ とし、 $b$ の $W$ への直交射影を $p$ とするとき、 $∥ b - p ∥$ を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$a, b, c$ を実数とする。次の行列式を $a, b, c$ の式で求めよ。
$1 + a 11 1 1 + b 1 11 1 + c$
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ の部分空間
$W_{1} = ⟨ 1201, 2110 ⟩, W_{2} = ⟨ 1 - 1 1 - 1, 1000 ⟩$
を考える（ $⟨ ⟩$ は与えられたベクトルで張られる部分空間を表す）。 $W_{1} \cap W_{2}$ の次元を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
行列 $A = (56 - 2 - 2)$ とベクトル $x = (11)$ について、 $n$ を正の整数とするとき、ベクトル $A^{n} x$ の第 2 成分を $n$ の式で求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{3}$ の列ベクトル $x = x_{1} x_{2} x_{3}$ , $y = y_{1} y_{2} y_{3}$ に対して
$⟨ x, y ⟩ = 2 x_{1} y_{1} + 2 x_{2} y_{2} + 2 x_{3} y_{3} + x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{2}$
と定めると、これは $R^{3}$ の内積である。この内積に関するノルムを $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ とする。
$e_{1} = 100$ , $e_{2} = 010$ で張られる部分空間を $W$ とし、 $v = 123$ とする。この内積に関する $v$ と $W$ の距離、すなわち $v$ から $W$ への直交射影を $w$ としたときの $∥ v - w ∥$ を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$a, b, c$ を実数とする。行列式
$D = a^{2} b^{2} c^{2} (a + 1)^{2} (b + 1)^{2} (c + 1)^{2} (a + 2)^{2} (b + 2)^{2} (c + 2)^{2}$
を $a, b, c$ の式で表せ（因数分解した形でよい）。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ に標準内積 $(x, y) = x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3} + x_{4} y_{4}$ を考え、ノルムを $∥ x ∥ = (x, x)$ とする。
$a_{1} = 1111, a_{2} = 0123, b = 1326$
とし、 $W$ を $a_{1}, a_{2}$ で張られる $R^{4}$ の部分空間とする。 $w$ が $W$ 全体を動くときの $∥ b - w ∥$ の最小値（ $b$ と $W$ の距離）を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ のベクトル
$v_{1} = 1201, v_{2} = 0111, v_{3} = 1312, v_{4} = 23 - 1 1$
が張る部分空間を $W_{1}$ とし、
$W_{2} = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \in R^{4} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0, x_{2} - x_{4} = 0 ⎭ ⎬ ⎫$
とする。 $dim (W_{1} \cap W_{2})$ と $dim (W_{1} + W_{2})$ をこの順に組で求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
行列
$A = \frac{1}{6} 320323023$
について、正の整数 $n$ に対し $A^{n}$ の $(1, 3)$ 成分を $a_{n}$ とする。数列 ${a_{n}}$ は収束する。その極限を $α = n \to \infty lim a_{n}$ とするとき、級数
$n = 1 \sum \infty (a_{n} - α)$
の和を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ に標準内積 $⟨ x, y ⟩ =^{t} x y$ を考え、そのノルムを $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ とする。
$a_{1} = 1111, a_{2} = 1234, b = 1326$
とし、 $W$ を $a_{1}, a_{2}$ で張られる $R^{4}$ の部分空間とする。 $b$ と $W$ の距離
$d = w \in W min ∥ b - w ∥$
を求めよ。
難易度 2（教科書の演習問題レベル）
$R^{4}$ の部分空間 $W_{1}, W_{2}$ を次のように定める。
$W_{1} = ⟨ 1100, 0110, 1210 ⟩, W_{2} = ⎩ ⎨ ⎧ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \in R^{4} x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0 x_{1} + x_{4} = 0 ⎭ ⎬ ⎫$
ここで $⟨ \cdot ⟩$ は、並べたベクトルで張られる部分空間を表す。和空間 $W_{1} + W_{2}$ の次元と共通部分 $W_{1} \cap W_{2}$ の次元を、この順に組 $(dim (W_{1} + W_{2}), dim (W_{1} \cap W_{2}))$ の形で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
行列
$A = 0 - 1 - 3 121114$
について、 $n$ を正の整数とするとき、 $A^{n}$ の $(3, 1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
実数係数で次数が $4$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $T : V \to V$ を
$T (f) (x) = x^{2} f^{''} (x) - 2 x f^{'} (x) + 2 f (x)$
で定め、 $V$ の部分空間 $W$ を
$W = {f \in V ∣ f (1) = 0}$
とする。 $dim (Ker T \cap W)$ と $dim (Im T \cap W)$ をこの順に組で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
数列 ${x_{n}}, {y_{n}}, {z_{n}}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）を $x_{0} = 2, y_{0} = 1, z_{0} = 0$ および
$⎩ ⎨ ⎧ x_{n + 1} = 3 x_{n} + y_{n} y_{n + 1} = x_{n} + 2 y_{n} + z_{n} z_{n + 1} = y_{n} + 3 z_{n}$
で定める。 $n$ を 0 以上の整数とするとき、 $z_{n}$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
実数 $x, y, z$ の 2 次形式
$Q (x, y, z) = 2 x^{2} + y^{2} - 4 x y - 4 y z$
について、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ を満たしながら $(x, y, z)$ が動くときの $Q$ の最大値と最小値を、この順に組で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$a, b$ を実数の定数とする。 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ についての連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - x_{4} = 1 2 x_{1} + 5 x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 4 x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} + 3 x_{4} = b 3 x_{1} + 7 x_{2} + 4 x_{3} + (a - 1) x_{4} = b + 3$
が無数の解をもつような実数の組 $(a, b)$ を求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
行列
$A = 3 - 4 10 1 - 1 00 00210012$
の最小多項式（ $f (A) = O$ となる最高次の係数が $1$ の多項式 $f (x)$ のうち次数が最小のもの）を求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を $2$ 以上の整数とし、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ を複素数とする。 $n$ 次正方行列 $A$ を、第 $i$ 行（ $i = 1, 2, \dots, n$ ）が
$(1, x_{i}, x_{i}^{2}, \dots, x_{i}^{n - 2}, x_{i}^{n})$
であるものとする（すなわち、第 $j$ 列（ $1 \leq j \leq n - 1$ ）の $(i, j)$ 成分は $x_{i}^{j - 1}$ 、第 $n$ 列の $(i, n)$ 成分は $x_{i}^{n}$ であり、ヴァンデルモンド行列から $x_{i}^{n - 1}$ の列を除いて $x_{i}^{n}$ の列を加えた形である）。このとき
$det A = (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i})$
が成り立つことを証明せよ。
ただし、任意の正の整数 $m$ と複素数 $y_{1}, \dots, y_{m}$ に対して、第 $i$ 行が $(1, y_{i}, y_{i}^{2}, \dots, y_{i}^{m - 1})$ である $m$ 次正方行列の行列式が $1 \leq i < j \leq m \prod (y_{j} - y_{i})$ に等しいこと（ヴァンデルモンドの行列式、 $m = 1$ のときは空積で $1$ ）は用いてよい。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を $2$ 以上の整数とし、 $R^{n}$ 上の実 2 次形式
$q (x) = 1 \leq i < j \leq n \sum x_{i} x_{j} (x =^{t} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in R^{n})$
を考える。 $q (x) =^{t} x A x$ を満たす $n$ 次実対称行列 $A$ の正の固有値の個数を $p$ 、負の固有値の個数を $r$ とし（いずれも重複度を込めて数える）、組 $(p, r)$ を $q$ の符号という。 $q$ の符号が $(1, n - 1)$ であることを証明せよ。
ただし、実対称行列は直交行列によって対角化できること、および対角化可能な行列では各固有値の重複度がその固有空間の次元に等しいことは用いてよい。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を正の整数とし、 $R^{n}$ には標準内積 $(x, y) = x^{T} y$ を考える。 $n$ 次実正方行列 $A$ が次の 2 つの条件を満たすとする。
$(1) A^{2} = A (2) tr (A^{T} A) = rank A$
このとき、 $A$ は対称行列である（すなわち $A^{T} = A$ である）ことを証明せよ。
ただし、 $R^{n}$ の部分空間の正規直交基底を $R^{n}$ 全体の正規直交基底に延長できること（グラム・シュミットの直交化法）、 $rank A$ が像 $Im A = {A x ∣ x \in R^{n}}$ の次元に等しいこと、トレースの性質 $tr (X Y) = tr (Y X)$ は用いてよい。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を正の整数とし、 $E$ を $n$ 次単位行列とする。 $n$ 次実正方行列 $A$ が
$A^{2} - 3 A + 2 E = O$
を満たすとする（ $O$ は $n$ 次零行列）。このとき、ある $n$ 次実正則行列 $P$ が存在して、 $P^{- 1} A P$ が対角成分がすべて $1$ または $2$ である対角行列になることを証明せよ。
ただし、 $R^{n}$ の部分空間 $U, W$ について $dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U \cap W)$ が成り立つことは用いてよい。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
実数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ についての 2 次形式
$Q (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{2} x_{4} + 2 x_{3} x_{4} + x_{4}^{2}$
を考える。 $Q$ を正則な実 1 次変換によって標準形 $i = 1 \sum 4 c_{i} z_{i}^{2}$ （ $c_{i}$ は実数）に直したとき、正の係数 $c_{i}$ の個数を $p$ 、負の係数 $c_{i}$ の個数を $q$ とする（シルベスターの慣性法則により $p, q$ は変換の選び方によらない）。 $Q$ の符号 $(p, q)$ をこの順に求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$a, b, c, d$ を実数とする。行列式
$D = 1111 a b c d a^{2} b^{2} c^{2} d^{2} a^{4} b^{4} c^{4} d^{4}$
を $a, b, c, d$ の式として因数分解した形で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を $3$ 以上の整数とする。 $n^{2}$ 個の実数の未知数 $x_{ij} (1 \leq i, j \leq n)$ についての、次の $2 n + 2$ 個の式からなる連立 1 次方程式を考える。 $j = 1 \sum n x_{ij} = 0 (i = 1, 2, \dots, n), i = 1 \sum n x_{ij} = 0 (j = 1, 2, \dots, n),$ $i = 1 \sum n x_{ii} = 0, i = 1 \sum n x_{i, n + 1 - i} = 0.$ この連立 1 次方程式の解全体は $R^{n^{2}}$ の部分空間をなす。その次元を $n$ の式で求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$E$ を 6 次単位行列とする。複素数を成分とする 6 次正方行列 $A$ が次の 3 つの条件を満たしている。
- 固有多項式は $(x - 2)^{4} (x + 1)^{2}$ である。
- 最小多項式は $(x - 2)^{2} (x + 1)^{2}$ である。
- $rank (A - 2 E) = 4$ である。
6 次複素正方行列全体のなす複素線形空間を $M_{6} (C)$ とする。その部分空間
$C (A) = {X \in M_{6} (C) ∣ A X = X A}$
の（複素線形空間としての）次元を求めよ。
難易度 3（期末試験の応用レベル）
$n$ を $3$ 以上の整数とし、実数を成分とする $n$ 次正方行列全体のなす $n^{2}$ 次元実線形空間を $V$ とする。 $V$ 上の 2 次形式
$Q (X) = 2 tr (X^{2}) - (tr X)^{2} (X \in V)$
を考える。 $Q$ の符号（正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$ ）を、 $(p, q)$ の組として $n$ の式で求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
実数を成分とする 3 次正方行列全体のなす 9 次元の実線形空間を $V$ とする。 $V$ 上の 2 次形式 $Q$ を
$Q (X) = tr (X^{2}) - (tr X)^{2} (X \in V)$
で定める（ $X$ の 9 個の成分を座標とみれば、 $Q$ はそれらの 2 次形式である）。 $Q$ の符号 $(p, q)$ （ $p$ は正の慣性指数、 $q$ は負の慣性指数）を、組 $(p, q)$ の形で求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
実数係数の $x$ の多項式で次数が $3$ 以下のもの全体のなす実線形空間に、内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) e^{- x} d x$
を考える。実数 $a, b, c$ を動かすとき
$\int_{0}^{\infty} (x^{3} - a x^{2} - b x - c)^{2} e^{- x} d x$
の最小値を求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
行列
$A = 3 - 1 01 110000200002$
の最小多項式 $φ_{A} (x)$ （ $φ_{A} (A) = O$ を満たす最高次の係数が $1$ の多項式のうち次数が最小のもの）を求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
実数を成分とする 3 次正方行列全体のなす実線形空間を $M_{3} (R)$ とし、
$A = 100110002$
とする。線形写像 $T : M_{3} (R) \to M_{3} (R)$ を $T (X) = A X - X A$ で定めるとき、像 $Im T$ の次元を求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
$E$ を 3 次単位行列とする。実数を成分とする 3 次正方行列 $A$ が
$A^{2} - 3 A + 2 E = O, tr A = 4$
を満たしている。 $n$ を正の整数とするとき、行列式 $det (A^{n} + A)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ についての連立 1 次方程式
$⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 x_{1} + a x_{2} + x_{3} + x_{4} = a x_{1} + x_{2} + a x_{3} + x_{4} = a^{2} x_{1} + x_{2} + x_{3} + a x_{4} = a^{3}$
が解をもたないような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
$A^{3} = A^{2}$ を満たす 4 次複素正方行列 $A$ 全体を考える。これらを相似によって分類するとき、相似類（互いに相似な行列をひとまとめにしたもの）の個数を求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
実数を成分とする $4$ 次正方行列全体のなす $16$ 次元の実線形空間を $V = M_{4} (R)$ とする。 $V$ 上の 2 次形式 $Q$ を
$Q (X) = tr (X^{2}) - (tr X)^{2} (X \in V)$
で定める。 $Q$ の符号（シグネチャ）を $(p, q)$ とする。ここで $p$ は $Q$ の標準形に現れる正の係数の個数、 $q$ は負の係数の個数である。組 $(p, q)$ を求めよ。
難易度 4（大学院入試の標準レベル）
$K$ を体、 $V$ を $K$ 上の有限次元線形空間とし、 $T : V \to V$ を線形写像とする。 $0$ 以上の整数 $k$ に対して $T^{k}$ を $T$ の $k$ 回の合成（ $T^{0}$ は $V$ の恒等写像）とし、
$d_{k} = dim Ker T^{k}$
とおく。このとき、すべての正の整数 $k$ に対して
$d_{k + 1} - d_{k} \leq d_{k} - d_{k - 1}$
が成り立つことを証明せよ。
ただし、線形写像の次元定理（有限次元線形空間 $U$ からの線形写像 $φ$ について $dim U = dim Ker φ + dim Im φ$ ）と、有限次元線形空間 $W$ とその部分空間 $W^{'}$ について商空間 $W / W^{'}$ の次元が $dim W - dim W^{'}$ であることは用いてよい。