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線形代数の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学線形代数

$E$ を 3 次単位行列とする。実数を成分とする 3 次正方行列 $A$ が
$A^{2} - 3 A + 2 E = O, tr A = 4$
を満たしている。 $n$ を正の整数とするとき、行列式 $det (A^{n} + A)$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
対角化と行列の累乗（説明と入口の問題）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$A v = λ v$ を条件式に代入すると、固有値が満たす方程式がわかります。トレースが固有値の和であることを使って、固有値を重複度込みで決めましょう。

ヒント 2

$(A - E) (A - 2 E) = O$ から $A$ は対角化可能です。 $P_{1} = 2 E - A, P_{2} = A - E$ とおくと $P_{1} + P_{2} = E, A P_{1} = P_{1}, A P_{2} = 2 P_{2}$ が成り立ちます。

ヒント 3

固有値は $1, 1, 2$ で、 $A^{n} = (2^{n} - 1) A - (2^{n} - 2) E$ と表せます。 $A^{n} + A$ の固有値を求めて掛け合わせましょう。

答えと解説

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2^{n + 2} + 8

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解説を読む

固有値の決定　 $λ$ を $A$ の（複素数の範囲での）固有値、 $v \neq = 0$ を固有ベクトルとすると
$0 = (A^{2} - 3 A + 2 E) v = (λ^{2} - 3 λ + 2) v$
より $(λ - 1) (λ - 2) = 0$ 。よって固有値は $1$ または $2$ 。重複度込みで $1$ が $k$ 個、 $2$ が $3 - k$ 個とすると、トレースは固有値の和だから $k + 2 (3 - k) = 4$ より $k = 2$ 。固有値は $1, 1, 2$ 。

対角化可能性と $A^{n}$ 　 $A^{2} - 3 A + 2 E = (A - E) (A - 2 E) = O$ で、多項式 $x^{2} - 3 x + 2$ は重解をもたないので $A$ は対角化可能である。具体的には $P_{1} = 2 E - A, P_{2} = A - E$ とおくと $P_{1} + P_{2} = E$ 、 $A P_{1} = P_{1}$ （ $A (2 E - A) = 2 A - A^{2} = 2 A - (3 A - 2 E) = 2 E - A$ ）、 $A P_{2} = 2 P_{2}$ （ $A (A - E) = A^{2} - A = 2 A - 2 E$ ）。したがって
$A^{n} = A^{n} (P_{1} + P_{2}) = P_{1} + 2^{n} P_{2} = (2 E - A) + 2^{n} (A - E) = (2^{n} - 1) A - (2^{n} - 2) E$
よって
$A^{n} + A = 2^{n} A - (2^{n} - 2) E$

行列式　 $A$ の固有値が $1, 1, 2$ なので、 $2^{n} A - (2^{n} - 2) E$ の固有値は
$2^{n} \cdot 1 - (2^{n} - 2) = 2 (2 個), 2^{n} \cdot 2 - (2^{n} - 2) = 2^{n} + 2$
である。行列式は固有値の積だから
$det (A^{n} + A) = 2 \cdot 2 \cdot (2^{n} + 2) = 2^{n + 2} + 8$

（確認） $n = 1$ のとき $det (2 A) = 8 det A = 8 \cdot (1 \cdot 1 \cdot 2) = 16$ 、式は $2^{3} + 8 = 16$ で一致する。

別解

$A^{2} - 3 A + 2 E = (A - E) (A - 2 E) = O$ より、 $A$ の最小多項式は $(x - 1) (x - 2)$ の約数で、重根をもたないので $A$ は対角化可能で、固有値は $1$ または $2$ のみ。

固有値 $1$ の重複度を $m_{1}$ 、 $2$ の重複度を $m_{2}$ とすると $m_{1} + m_{2} = 3$ 、 $tr A = m_{1} + 2 m_{2} = 4$ 。よって $m_{2} = 1, m_{1} = 2$ 。

$A^{n} + A$ の固有値は、 $A$ の固有値 $λ$ に対し $λ^{n} + λ$ 。 $λ = 1$ は $2$ が 2 個、 $λ = 2$ は $2^{n} + 2$ が 1 個。
$det (A^{n} + A) = 2^{2} (2^{n} + 2) = 2^{n + 2} + 8.$

検算: $n = 1$ のとき $det (2 A) = 8 det A = 8 \cdot (1 \cdot 1 \cdot 2) = 16$ 。式は $2^{3} + 8 = 16$ で一致。

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