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線形代数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学線形代数

$n$ を $3$ 以上の整数とし、実数を成分とする $n$ 次正方行列全体のなす $n^{2}$ 次元実線形空間を $V$ とする。 $V$ 上の 2 次形式
$Q (X) = 2 tr (X^{2}) - (tr X)^{2} (X \in V)$
を考える。 $Q$ の符号（正の慣性指数 $p$ と負の慣性指数 $q$ ）を、 $(p, q)$ の組として $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

2 次形式の標準形と符号（説明と入口の問題）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X$ を対称部分と交代部分に分け、さらに対称部分をトレース $0$ の部分と単位行列の定数倍に分けてみよう。

ヒント 2

$tr (S A) = 0$ 、 $tr (S^{2}) = ∥ S ∥^{2}$ 、 $tr (A^{2}) = - ∥ A ∥^{2}$ （ $∥ X ∥^{2} = \sum x_{ij}^{2}$ ）が成り立つ。

ヒント 3

$S = S_{0} + \frac{t}{n} E$ とすると $Q (X) = 2∥ S_{0} ∥^{2} + (\frac{2}{n} - 1) t^{2} - 2∥ A ∥^{2}$ となる。あとは各部分の次元と係数の符号を数え、シルベスターの慣性法則を使う。

答えと解説

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(\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1, \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1)

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解説を読む

$V$ に内積 $⟨ X, Y ⟩ = tr (X^{T} Y)$ を入れ、 $∥ X ∥^{2} = tr (X^{T} X) = \sum_{i, j} x_{ij}^{2}$ とする。

分解任意の $X \in V$ は対称行列 $S = \frac{X + X ^{T}}{2}$ と交代行列 $A = \frac{X - X ^{T}}{2}$ によって $X = S + A$ と一意に表せる。さらに $t = tr S = tr X$ とおき、 $S = S_{0} + \frac{t}{n} E$ （ $S_{0}$ はトレース $0$ の対称行列、 $E$ は単位行列）と分ける。こうして
$V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus W_{3}, W_{1} = {トレース 0 の対称行列}, W_{2} = R E, W_{3} = {交代行列}$
となり、 $dim W_{1} = \frac{n ( n + 1 )}{2} - 1$ 、 $dim W_{2} = 1$ 、 $dim W_{3} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。これらは内積に関して互いに直交する。

$Q$ の計算 $tr (X^{2}) = tr (S^{2}) + tr (S A) + tr (A S) + tr (A^{2})$ である。 $tr (S A) = tr ((S A)^{T}) = tr (A^{T} S^{T}) = - tr (A S) = - tr (S A)$ より $tr (S A) = tr (A S) = 0$ 。また $S^{T} = S$ より $tr (S^{2}) = tr (S^{T} S) = ∥ S ∥^{2}$ 、 $A^{T} = - A$ より $tr (A^{2}) = - tr (A^{T} A) = - ∥ A ∥^{2}$ 。さらに $tr (S_{0} E) = tr S_{0} = 0$ なので
$∥ S ∥^{2} = ∥ S_{0} ∥^{2} + \frac{t ^{2}}{n ^{2}} ∥ E ∥^{2} = ∥ S_{0} ∥^{2} + \frac{t ^{2}}{n} .$
よって
$Q (X) = 2∥ S_{0} ∥^{2} + (\frac{2}{n} - 1) t^{2} - 2∥ A ∥^{2} .$

標準形 $W_{1}, W_{3}$ の正規直交基底と $W_{2}$ の基底 $E$ を合わせて $V$ の基底をとると、その座標で $Q$ は平方の和・差の形（対角形）になる。各係数の符号は、 $W_{1}$ の座標では $2 > 0$ 、 $W_{3}$ の座標では $- 2 < 0$ 、 $W_{2}$ の座標 $t$ では $n \geq 3$ より $\frac{2}{n} - 1 < 0$ である。

シルベスターの慣性法則により、正の係数の個数と負の係数の個数は基底の取り方によらないので
$p = dim W_{1} = \frac{n ( n + 1 )}{2} - 1, q = dim W_{2} + dim W_{3} = \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1.$
（ $p + q = n^{2}$ なので $Q$ は非退化である。検算: $n = 3$ のとき $(p, q) = (5, 4)$ 。）

答え: $(\frac{n ( n + 1 )}{2} - 1, \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1)$

別解

$X = S + A$ （ $S$ は対称行列、 $A$ は交代行列）と分解する。 $tr (S A) = 0$ なので $tr (X^{2}) = tr (S^{2}) + tr (A^{2})$ となる。また $tr X = tr S$ である。

交代部分: $tr (A^{2}) = - \sum_{i, j} a_{ij}^{2} = - 2 \sum_{i < j} a_{ij}^{2}$ より、 $2 tr (A^{2})$ は負定値である。次元は $n (n - 1) /2$ なので、負の慣性指数への寄与は $n (n - 1) /2$ 。

対称部分: $S = S_{0} + \frac{t}{n} I$ （ $t = tr S$ 、 $tr S_{0} = 0$ ）と書くと、 $tr (S^{2}) = tr (S_{0}^{2}) + t^{2} / n$ である。よって
$Q = 2 tr (S_{0}^{2}) + (\frac{2}{n} - 1) t^{2}$ 。
$tr (S_{0}^{2})$ は対称トレースなし行列の空間（次元 $n (n + 1) /2 - 1$ ）上で正定値である。 $n \geq 3$ なので $2/ n - 1 < 0$ で、 $t$ 方向は負である。

これらの 3 つの部分空間は $Q$ に関して互いに直交するので、
$p = \frac{n ( n + 1 )}{2} - 1 = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 、
$q = \frac{n ( n - 1 )}{2} + 1 = \frac{n ^{2} - n + 2}{2}$ 。
検算: $p + q = n^{2}$ で、 $Q$ は非退化である。

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