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線形代数の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学線形代数

$E$ を 6 次単位行列とする。複素数を成分とする 6 次正方行列 $A$ が次の 3 つの条件を満たしている。

固有多項式は $(x - 2)^{4} (x + 1)^{2}$ である。
最小多項式は $(x - 2)^{2} (x + 1)^{2}$ である。
$rank (A - 2 E) = 4$ である。

6 次複素正方行列全体のなす複素線形空間を $M_{6} (C)$ とする。その部分空間
$C (A) = {X \in M_{6} (C) ∣ A X = X A}$
の（複素線形空間としての）次元を求めよ。

この問題で使うもの

ジョルダン標準形（説明と入口の問題）
行列の階数と解の存在（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（説明と入口の問題）
基底の変換と表現行列（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず与えられた条件から $A$ のジョルダン標準形を一意に決め、 $C (A)$ の次元をジョルダン標準形 $J$ と可換な行列の空間 $C (J)$ の次元に帰着させましょう。

ヒント 2

最小多項式の各因子の指数は最大のジョルダン細胞のサイズを、 $dim ker (A - λ E)$ はその固有値のジョルダン細胞の個数を表します。 $J X = X J$ はブロックごとの条件 $J_{i} X_{ij} = X_{ij} J_{j}$ に分かれます。

ヒント 3

ジョルダン標準形は $J_{2} (2) \oplus J_{2} (2) \oplus J_{2} (- 1)$ です。異なる固有値のブロック間では $X_{ij} = O$ になり、同じ固有値の 2 次細胞どうしのブロックは $(p 0 q p)$ の形になります。

答えと解説

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解説を読む

1. ジョルダン標準形を決める。

2 次のジョルダン細胞を $J_{2} (λ) = (λ 0 1 λ)$ と書く。

固有値 $- 1$ ：代数的重複度は $2$ である。最小多項式における $x + 1$ の指数が $2$ なので、最大のジョルダン細胞のサイズは $2$ である。よって $- 1$ のジョルダン細胞は $J_{2} (- 1)$ ただ 1 つである。
固有値 $2$ ：代数的重複度は $4$ である。最小多項式における $x - 2$ の指数が $2$ なので、細胞のサイズはすべて $2$ 以下で、少なくとも 1 つはサイズ $2$ である。細胞の個数は固有空間の次元に等しく、 $dim ker (A - 2 E) = 6 - rank (A - 2 E) = 6 - 4 = 2$ である。サイズの和が $4$ 、どれも $2$ 以下、個数が $2$ なので、サイズは $(2, 2)$ に限られる。

したがって、ある正則行列 $P$ により
$P^{- 1} A P = J = J_{2} (2) \oplus J_{2} (2) \oplus J_{2} (- 1)$
となる。

2. $C (J)$ に帰着する。

写像 $X \mapsto P^{- 1} X P$ は $M_{6} (C)$ の線形同型である。また $A X = X A$ と $J (P^{- 1} X P) = (P^{- 1} X P) J$ は同値である。よって $dim C (A) = dim C (J)$ となる。

3. $C (J)$ を計算する。

$Y$ を 6 次正方行列とし、 $2 \times 2$ ブロック $Y_{ij}$ $(i, j = 1, 2, 3)$ に分ける。 $J$ の対角ブロックを $J_{1} = J_{2} (2)$ , $J_{2}^{'} = J_{2} (2)$ , $J_{3} = J_{2} (- 1)$ と書くと、 $J Y = Y J$ は各 $(i, j)$ ブロックについての条件と同値である。それぞれのブロックは独立に決まる。

ここで $N = (0010)$ , $Z = (p r q s)$ とおくと、
$Z N = (00 p r), N Z = (r 0 s 0)$
である。

(i) 異なる固有値どうしのブロック（ $(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)$ ）

たとえば $J_{2} (2) Z = Z J_{2} (- 1)$ は $(2 E + N) Z = Z (- E + N)$ 、すなわち $3 Z = Z N - N Z$ となる。ここで
$Z N - N Z = (- r 0 p - s r)$
なので、各成分を比べると次のようになる。

$(2, 1)$ 成分： $3 r = 0$ より $r = 0$ 。
$(1, 1)$ 成分： $3 p = - r = 0$ より $p = 0$ 。
$(2, 2)$ 成分： $3 s = r = 0$ より $s = 0$ 。
$(1, 2)$ 成分： $3 q = p - s = 0$ より $q = 0$ 。

よって $Z = O$ である。 $J_{2} (- 1) Z = Z J_{2} (2)$ の場合も、同様に $- 3 Z = Z N - N Z$ から $Z = O$ となる。

(ii) 同じ固有値どうしのブロック（ $(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)$ ）

$J_{2} (λ) Z = Z J_{2} (λ)$ は $N Z = Z N$ と同値で、 $r = 0, s = p$ となる。すなわち
$Z = (p 0 q p)$
であり、自由なパラメータは $2$ 個である。

4. 次元を数える。

(ii) の型のブロックが $5$ 個あり、それぞれ $2$ 次元である。(i) の型のブロックは $O$ に限られる。よって
$dim C (A) = dim C (J) = 5 \times 2 = 10$
である。

別解

$A$ のジョルダン標準形を決める。

固有値 $2$ について、代数的重複度は $4$ である。 $rank (A - 2 E) = 4$ より $dim ker (A - 2 E) = 6 - 4 = 2$ なので、固有値 $2$ のジョルダンブロックは $2$ 個ある。最小多項式での $(x - 2)$ の指数が $2$ なので、最大のブロックの大きさは $2$ である。よってブロックの大きさは $(2, 2)$ となる。

固有値 $- 1$ について、代数的重複度は $2$ で、最小多項式での $(x + 1)$ の指数は $2$ である。よってブロックは大きさ $2$ が $1$ 個である。

検算として、 $rank (A - 2 E)$ を数える。固有値 $2$ の部分の幕零部分は $(2, 2)$ 型なので階数 $2$ である。固有値 $- 1$ の部分では $A - 2 E$ が可逆なので階数 $2$ である。合計 $4$ となり、条件と一致する。

$A$ と可換な行列全体の次元は、各固有値ごとに、ジョルダンブロックの大きさ $λ_{i}, λ_{j}$ について $\sum_{i, j} min (λ_{i}, λ_{j})$ を求め、固有値について足し合わせたものである。

固有値 $2$ では、ブロックの大きさが $(2, 2)$ なので、 $2 + 2 + 2 + 2 = 8$ である。
固有値 $- 1$ では、ブロックの大きさが $(2)$ なので、 $2$ である。

したがって $dim C (A) = 8 + 2 = 10$ である。

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