ジョルダン標準形

対角化できない行列のジョルダン標準形と変換行列を求め、 $A^{n}$ を計算できる

前提

対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）

説明

固有値が重複していて固有ベクトルが足りず、対角化できない行列でも、複素数の範囲で考えれば、適当な正則行列 $P$ によって $P^{- 1} A P$ を「ほぼ対角」な形（ジョルダン標準形 $J$ ）にできます。 $J$ は対角成分に固有値が並び、そのすぐ上にところどころ $1$ が並ぶだけの単純な形です。そのため $J^{n}$ は二項定理で簡単に計算できます。その結果、 $A^{n} = P J^{n} P^{- 1}$ を使って、対角化できない行列の累乗や、重解をもつ連立漸化式を扱えるようになります。

なぜそうしてよいのか

$λ$ を固有値とし、 $N = A - λ I$ とおきます。対角化できないのは、固有ベクトル（ $N p = 0$ を満たす $p \neq = 0$ ）だけでは基底が作れないからです。そこで固有ベクトルの代わりに「鎖」を使います。2 次の場合で説明します。固有多項式が $(t - λ)^{2}$ なら、ケーリー・ハミルトンの定理より $N^{2} = O$ です。また $A$ は対角化できないので $N \neq = O$ です（ $N = O$ なら $A = λ I$ となり、初めから対角行列です）。 $N \neq = O$ なので、 $N$ のある列は $0$ でなく、 $N p_{2} \neq = 0$ となる $p_{2}$ が存在します（たとえば $N$ の $0$ でない列が第 $j$ 列なら、 $p_{2}$ を第 $j$ 基本ベクトルにとればよい）。 $p_{1} = N p_{2}$ とおくと、 $N p_{1} = N^{2} p_{2} = 0$ なので $p_{1}$ は固有ベクトルです。 $a p_{1} + b p_{2} = 0$ に $N$ をかけると $b p_{1} = 0$ なので $b = 0$ 、続いて $a = 0$ となります。よって $p_{1}, p_{2}$ は一次独立で、 $P = (p_{1} p_{2})$ は正則です。 $A p_{1} = λ p_{1}$ 、 $A p_{2} = p_{1} + λ p_{2}$ なので、基底 $p_{1}, p_{2}$ に関する $A$ の表現行列（各列に $A p_{j}$ を $p_{1}, p_{2}$ で表した係数を並べたもの）は $P^{- 1} A P = J = (λ 0 1 λ)$ です。

一般に、固有多項式が 1 次式の積に分解すれば、 $A$ は次のジョルダン細胞を対角に並べた形に変換できます。ジョルダン細胞とは、対角成分が $λ$ 、そのすぐ上が $1$ 、他が $0$ の正方行列です。この形は細胞の並び順を除いて一意に決まります。複素数の範囲では、代数学の基本定理により固有多項式は必ず 1 次式の積に分解するので、どんな正方行列でもこの形にできます。ただし、実行列が実数でない固有値をもつときは、 $P$ や $J$ の成分に虚数が必要です。実数の範囲だけではこの形にできないことに注意します。細胞の大きさは階数から決まります。 $m$ 次の細胞を $λ I + E$ と書くと、 $E^{k}$ の階数は $max (m - k, 0)$ です。一方、他の固有値の細胞については $N$ をかけても階数が落ちません。したがって $r_{k} = rank N^{k}$ （ $r_{0}$ は行列の次数）とおくと、「大きさ $k$ 以上の $λ$ の細胞の個数」は $r_{k - 1} - r_{k}$ です。特に $λ$ の細胞の個数は $r_{0} - r_{1} = dim ker N$ です。また最大の細胞の大きさは、最小多項式に現れる $(t - λ)$ の指数に等しくなります。

$J^{n}$ が簡単になる理由を見ます。細胞を $λ I + E$ （ $E$ は対角のすぐ上だけ $1$ の行列）と分けると、 $λ I$ と $E$ は交換可能なので二項定理が使えます。しかも $m$ 次の細胞では $E^{m} = O$ です。2 次の細胞なら $E^{2} = O$ より、正の整数 $n$ に対し $J^{n} = λ^{n} I + n λ^{n - 1} E$ です。3 次の細胞なら $E^{3} = O$ より $J^{n} = λ^{n} I + n λ^{n - 1} E + (2 n) λ^{n - 2} E^{2}$ です。ここで $(j n) = 0$ （ $j > n$ ）となる項は $0$ とみなします（たとえば $n = 1$ のときの $E^{2}$ の項）。また $λ = 0$ のときは $0^{0} = 1$ と約束します（ $n = 1$ で $J = E$ となり、 $n λ^{n - 1} = 1$ と一致します）。

手順

固有多項式 $det (t I - A)$ を 1 次式の積に因数分解し、固有値（複素数も含む）とその重複度を求める。
各固有値 $λ$ について $N = A - λ I$ とし、 $r_{k} = rank N^{k}$ （ $r_{0}$ は次数）を、値が減らなくなる（次数 $-$ 重複度になる）まで求める。大きさ $k$ 以上の細胞の個数は $r_{k - 1} - r_{k}$ で、すべての細胞が 1 次なら対角化できる。
大きさ $k$ の細胞ごとに鎖を作る。 $N^{k} p_{k} = 0$ かつ $N^{k - 1} p_{k} \neq = 0$ となる $p_{k}$ を選び、 $p_{j - 1} = N p_{j}$ で $p_{k - 1}, \dots, p_{1}$ を作る（ $p_{1}$ が固有ベクトル）。細胞が複数あるときは、各鎖の固有ベクトル $p_{1}$ どうしが一次独立になるように選ぶ。こうすれば、鎖のベクトル全体も一次独立になる。異なる固有値の鎖は自動的に一次独立になる。
各鎖を固有ベクトル側から $p_{1}, p_{2}, \dots$ の順に並べて $P$ を作り、 $J = P^{- 1} A P$ を書く。 $A p_{j} = p_{j - 1} + λ p_{j}$ （ $A p_{1} = λ p_{1}$ ）で確かめる。
細胞ごとに二項定理で $J^{n}$ を求める。2 次の細胞は $(λ^{n} 0 n λ^{n - 1} λ^{n})$ 、3 次の細胞は $λ^{n} 00 n λ^{n - 1} λ^{n} 0 (2 n) λ^{n - 2} n λ^{n - 1} λ^{n}$ とする。 $(j n) = 0$ の項は $0$ とし、 $λ = 0$ では $0^{0} = 1$ とする。
$P^{- 1}$ を求め、 $A^{n} = P J^{n} P^{- 1}$ を計算する。

例題

$A = (3 - 1 11)$ とする。正の整数 $n$ に対し、 $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

例題の解答

【手順1】 $det (t I - A) = (t - 3) (t - 1) + 1 = t^{2} - 4 t + 4 = (t - 2)^{2}$ より、固有値は $2$ （重複度 $2$ ）。
【手順2】 $N = A - 2 I = (1 - 1 1 - 1)$ より $r_{0} = 2$ 、 $r_{1} = 1$ 。ケーリー・ハミルトンの定理より $N^{2} = O$ なので $r_{2} = 0$ 。大きさ $1$ 以上の細胞は $r_{0} - r_{1} = 1$ 個、大きさ $2$ 以上の細胞は $r_{1} - r_{2} = 1$ 個。よって 2 次の細胞が 1 個だけで、対角化できない。
【手順3】 $N^{2} p_{2} = 0$ は常に成り立つ。そこで $N p_{2} \neq = 0$ となる $p_{2} = (10)$ を選ぶと、 $p_{1} = N p_{2} = (1 - 1)$ 。 $N p_{1} = 0$ も確かめられる。
【手順4】 $P = (p_{1} p_{2}) = (1 - 1 10)$ とおく。 $A p_{1} = (2 - 2) = 2 p_{1}$ 、 $A p_{2} = (3 - 1) = p_{1} + 2 p_{2}$ より、 $P^{- 1} A P = J = (2012)$ 。
【手順5】 $J^{n} = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n})$ 。
【手順6】 $det P = 1$ より $P^{- 1} = (01 - 1 1)$ 。 $P J^{n} = (2^{n} - 2^{n} 2^{n} + n 2^{n - 1} - n 2^{n - 1})$ なので、 $A^{n} = P J^{n} P^{- 1}$ の $(1, 1)$ 成分は $2^{n} \cdot 0 + (2^{n} + n 2^{n - 1}) \cdot 1 = (n + 2) 2^{n - 1}$ 。
（検算： $n = 1$ で $3 \cdot 1 = 3$ 。 $n = 2$ で $A^{2} = (8 - 4 40)$ より $(1, 1)$ 成分は $8$ で、式の値 $4 \cdot 2 = 8$ と一致。）

答え: $(n + 2) 2^{n - 1}$

よくある誤り

$J^{n}$ を成分ごとの累乗として $(λ^{n} 0 1 λ^{n})$ としてしまう誤り。正しくは $(λ^{n} 0 n λ^{n - 1} λ^{n})$ （例： $(2012)^{2} = (4044)$ ）。
$P$ の列を $(p_{2} p_{1})$ の順に並べてしまう誤り。このとき $P^{- 1} A P = (λ 1 0 λ)$ となり、すぐ上に $1$ が並ぶ形にならない。正しくは固有ベクトル $p_{1} = (A - λ I) p_{2}$ を先に置き、 $P = (p_{1} p_{2})$ とする。
$dim ker (A - λ I)$ だけで細胞の大きさまで決まるとしてしまう誤り。たとえば $4$ 次で固有値が $λ$ だけ、 $dim ker (A - λ I) = 2$ のとき、細胞の大きさは $3, 1$ と $2, 2$ の両方がありうる。正しくは $rank (A - λ I)^{2}$ も調べる。大きさ $2$ 以上の細胞の個数 $r_{1} - r_{2}$ が $2$ なら $2, 2$ 、 $1$ なら $3, 1$ と決まる。
$A^{n} = P^{- 1} J^{n} P$ と変換の向きを逆にしてしまう誤り。 $J = P^{- 1} A P$ から $A = P J P^{- 1}$ なので、正しくは $A^{n} = P J^{n} P^{- 1}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
行列の中心化環の次元（大学院数学リー群・リー環）