線形代数の問題

1. 固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 4\\ -1& 5-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(5-\lambda )+4={\lambda }^2-6\lambda +9=(\lambda -3{)}^2$$
よって固有値は $\lambda =3$（重解）である。

2. 固有ベクトルを求める。
$$A-3E=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)$$
は階数 $1$ なので、固有空間は $1$ 次元であり、$A$ は対角化できない。$(A-3E){\mathbf{p}}_1=0$ より $-x+2y=0$ なので、${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ ととれる。

3. 一般化固有ベクトルを求める。
$(A-3E){\mathbf{p}}_2={\mathbf{p}}_1$ を解く。$-2x+4y=2,-x+2y=1$ は同じ式で、例えば $x=-1,y=0$ が解なので ${\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ ととる。
このとき $A{\mathbf{p}}_1=3{\mathbf{p}}_1$、$A{\mathbf{p}}_2={\mathbf{p}}_1+3{\mathbf{p}}_2$ となる。

4. ジョルダン標準形を書く。
$$P=({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),J=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$
とおくと $AP=PJ$、すなわち $P^{-1}AP=J$ である。$\det P=2\cdot 0-(-1)\cdot 1=1$ より
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$$

5. $J^n$ を求める。
$J=3E+N,N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ とおくと $N^2=O$ で、$3E$ と $N$ は交換可能なので、二項定理より
$$J^n=(3E{)}^n+n(3E{)}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)$$

6. $A^n=P{J}^n{P}^{-1}$ を計算する。
$$P{J}^n=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n\cdot 3^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 3^n& 2n\cdot 3^{n-1}-3^n\\ 3^n& n\cdot 3^{n-1}\end{array}\right)$$
これに右から $P^{-1}$ を掛けたときの $(1,2)$ 成分は、$P{J}^n$ の第 $1$ 行と $P^{-1}$ の第 $2$ 列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ の積だから
$$2\cdot 3^n\cdot 1+(2n\cdot 3^{n-1}-3^n)\cdot 2=4n\cdot 3^{n-1}$$

（確認：$n=1$ のとき $4\cdot 1\cdot 3^0=4$ となり、$A$ の $(1,2)$ 成分に一致する。）

よって求める成分は $4n\cdot 3^{n-1}$ である。

$A$ のトレースは 6、行列式は $5+4=9$ なので、固有方程式は $(\lambda -3{)}^2=0$ となり、固有値は重解 $3$ である。

$N=A-3I=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)\ne O$ なので、固有空間は 1 次元で $A$ は対角化できない。

固有ベクトルとして $v=(2,1{)}^T$ をとると $Nv=0$ となる。$Nw=v$ を満たす一般固有ベクトルとして $w=(-1,0{)}^T$ がとれる。

$P=(vw)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ とおくと、$P^{-1}AP=J=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ となる。

$J^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& n{3}^{n-1}\\ 0& 3^n\end{array}\right)$ であるから、$A^n=P{J}^n{P}^{-1}$ を計算する。同じことだが、$A=3I+N$ かつ $N^2=O$ より二項定理から
$$A^n=3^{n}I+n{3}^{n-1}N$$
が得られる。

$(1,2)$ 成分は $N$ の $(1,2)$ 成分 $4$ を使って $4n\cdot 3^{n-1}$ である。

検算: $n=1$ では $4$ で $A$ の $(1,2)$ 成分と一致する。$n=2$ では $A^2$ の $(1,2)$ 成分が $1\cdot 4+4\cdot 5=24$ で、公式の $4\cdot 2\cdot 3=24$ と一致する。