線形代数の問題

手順 1：固有値を求める。
特性多項式は
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$$
です。よって固有値は $\lambda =2,5$ です。2 次正方行列で固有値が異なる 2 つの値なので、$A$ は対角化できます。

手順 2：固有ベクトルを求める。
$\lambda =5$ のとき、$(A-5E)\mathbf{x}=0$ は $\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$、すなわち $-x+y=0$ なので、固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ がとれます。
$\lambda =2$ のとき、$(A-2E)\mathbf{x}=0$ は $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$、すなわち $2x+y=0$ なので、固有ベクトルとして $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ がとれます。

手順 3：$P$ と $D$ をつくる。
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$
とおくと $A=PD{P}^{-1}$ です。$\det P=1\cdot (-2)-1\cdot 1=-3$ より
$$P^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

手順 4：$A^n$ を計算する。
$A^n=(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})\cdots (PD{P}^{-1})=P{D}^n{P}^{-1}$ で、$D^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)$ です。
$$P{D}^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 2^n\\ 5^n& -2\cdot 2^n\end{array}\right)$$
なので
$$A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 2^n\\ 5^n& -2\cdot 2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$
$(1,2)$ 成分は、第 1 行と第 2 列の積をとって
$$\frac{1}{3}\left(5^n\cdot 1+2^n\cdot (-1)\right)=\frac{5^n-2^n}{3}.$$

確認： $n=1$ のとき $\frac{5-2}{3}=1$ で、$A$ の $(1,2)$ 成分 $1$ と一致します。$n=2$ のとき $A^2=\left(\begin{array}{cc}18& 7\\ 14& 11\end{array}\right)$ で、$\frac{25-4}{3}=7$ と一致します。

よって答えは $\frac{5^n-2^n}{3}$ です。

固有値は $\det (A-\lambda I)=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)$ より $2,5$。ケーリー・ハミルトンの定理より、$A^n=pA+qI$ と書け、${\lambda }^n=p\lambda +q$ が $\lambda =2,5$ で成り立つ。よって $2^n=2p+q$、$5^n=5p+q$。引いて $p=(5^n-2^n)/3$。$(1,2)$ 成分は $p\cdot 1+q\cdot 0=p$ なので $\frac{5^n-2^n}{3}$。検算：$n=1$ のとき $(5-2)/3=1$ で $A$ の $(1,2)$ 成分 1 と一致。$n=2$ のとき $A^2=\left(\begin{array}{cc}18& 7\\ 14& 11\end{array}\right)$ で $(25-4)/3=7$ と一致。