固有値と固有ベクトル

行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$
の固有値を $\alpha ,\beta$（$\alpha <\beta$）とする。また、固有値 $\alpha$ に対する固有空間 $W(\alpha )$ の基底を、第 1 成分が $1$ のベクトル $\left(\begin{array}{c}1\\ c\end{array}\right)$ で表す。組 $(\alpha ,\beta ,c)$ をこの順に求めよ。

行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$$ について考える。$A$ の固有値のうち大きい方を ${\lambda }_1$ とする。${\lambda }_1$ に対する固有空間は、ある実数 $k$ を用いて $\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)$ を基底としてもつ。${\lambda }_1$ と $k$ を、この順に組 $({\lambda }_1,k)$ で求めよ。

行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ について、$n$ を正の整数とするとき、$A^n$ の $(2,1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ について、$n$ を正の整数とするとき、$A^n$ の $(1,2)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$$
について考える。$A$ のジョルダン標準形を用いて、正の整数 $n$ に対する $A^n$ の $(1,1)$ 成分を $n$ の式で表せ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$
は対角化できない。$A$ のジョルダン標準形を利用して、正の整数 $n$ に対する $A^n$ の $(1,1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

実対称行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$ を、回転行列 $$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$$ を用いて $${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)({\lambda }_1>{\lambda }_2)$$ と直交対角化する。このとき $(\cos \theta ,\sin \theta )$ をこの順に組で求めよ。

実対称行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 2\end{array}\right)$$
を考える。実数 $\theta$ が $0\le \theta <\pi$ を満たし、回転行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
によって
$${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
が成り立つとき、$\theta$ の値を求めよ。

$xy$ 平面上の曲線
$$C:5x^2+4xy+2y^2=6$$
を考える。左辺の 2 次形式を直交変換（回転）で標準形に直すと、$C$ は楕円であることがわかる。この楕円の長半径（長軸の長さの半分）と短半径（短軸の長さの半分）を、この順に組で求めよ。

実数 $x,y$ についての 2 次形式
$$Q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2$$
を考える。$Q$ を直交変換によって標準形に直し、その符号を調べることで、$xy$ 平面上の曲線 $Q(x,y)=6$ の形を調べる。この曲線は楕円になる。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に組で求めよ。

実数 $t$ の関数 $x_1(t),x_2(t)$ が、連立線形微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }(t)=x_1(t)+2x_2(t)\\ x_2^{\prime }(t)=2x_1(t)+x_2(t)\end{array}$$
と初期条件 $x_1(0)=3,x_2(0)=1$ を満たすとする。行列 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ を対角化して $e^{tA}$ を求めることにより、$x_1(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x_1(t),x_2(t)$ が、連立線形微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }(t)=x_1(t)+2x_2(t)\\ x_2^{\prime }(t)=2x_1(t)+x_2(t)\end{array}$$
と初期条件 $x_1(0)=3,x_2(0)=1$ を満たすとする。行列 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ を対角化して $e^{tA}$ を求め、それを用いて $x_1(t)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1+xy)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1+xy)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

行列 $A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ 6& -2\end{array}\right)$ とベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ について、$n$ を正の整数とするとき、ベクトル $A^n\mathbf{x}$ の第 2 成分を $n$ の式で求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ を求めよ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $\mathbf{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ は、${\sigma }_z$ の固有状態 $|\uparrow ⟩$（固有値 $+1$）, $|\downarrow ⟩$（固有値 $-1$）を基底として
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
と表されるパウリ行列である。

$xz$ 平面内で $z$ 軸から $x$ 軸の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ傾いた単位ベクトル $\mathbf{n}=\left(\sin \frac{\pi }{3},0,\cos \frac{\pi }{3}\right)$ の向きのスピン成分 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}$ について、固有値 $+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態に粒子を用意した。この状態で $S_x$ を測定したとき、$+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $S_z$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとり、パウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
とする（$i$ は虚数単位）。

粒子のスピン状態が
$$\chi =\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)$$
であるとき、$S_y$ を測定して $+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=5x^2+4xy+2y^2-3x+y$$
を考える。実数 $m$ に対して $g_m(x,y)=f(x,y)-\frac{m}{2}(x^2+y^2)$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で凸関数となるような $m$ の最大値を $m_0$、実数 $L$ に対して $h_L(x,y)=\frac{L}{2}(x^2+y^2)-f(x,y)$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で凸関数となるような $L$ の最小値を $L_0$ とする。$(m_0,L_0)$ をこの順に求めよ。

同じ資源を奪い合う 2 種の生物の個体数密度を $x(t)$, $y(t)$（$t\geqq 0$ は時刻、$x\geqq 0$, $y\geqq 0$）とする。それぞれがロジスティック成長をし、さらに互いの成長を妨げ合うとして、$x(t)$, $y(t)$ が競争系のロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(4-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(3-x-y)$$
にしたがうとする。領域 $x\geqq 0$, $y\geqq 0$ にある平衡点のうち、漸近安定なものはただ 1 つである。その平衡点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

3 つの状態 $A,B,C$ をとる系を考える。各状態のエネルギーは $E_A=0,E_B=\Delta ,E_C=0$（$\Delta >0$）である。系は逆温度 $\beta =1/(k_{B}T)$ の熱浴に接している。遷移は $A\leftrightarrow B$ と $B\leftrightarrow C$ の間でだけ起こり、$A\leftrightarrow C$ の直接の遷移は起こらない。状態 $i$ から状態 $j$ への単位時間あたりの遷移率は、メトロポリス型の
$$w(i\to j)=\nu \min \left(1,e^{-\beta (E_j-E_i)}\right)$$
で与えられる（$\nu >0$ は定数）。各状態の占有確率 $p_A(t),p_B(t),p_C(t)$ はマスター方程式
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\sum _{j\ne i}\left[w(j\to i)p_j-w(i\to j)p_i\right]$$
に従う。

このマスター方程式の遷移行列の固有値のうち、$0$ でないものはすべて負の実数である。それらの絶対値の最小値の逆数を、この系の最長緩和時間 $\tau$ と定義する。$\tau$ を $\beta ,\Delta ,\nu$ を用いて表せ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D+L+U$（$D$ は対角部分、$L$ は狭義下三角部分、$U$ は狭義上三角部分）と分解する。このとき、ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
の反復行列 $G=-(D+L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (G)$（固有値の絶対値の最大値）を求めよ。

行列
$$A=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ 2& 2& 2\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$$
について、正の整数 $n$ に対し $A^n$ の $(1,3)$ 成分を $a_n$ とする。数列 $\{a_n\}$ は収束する。その極限を $\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n-\alpha \right)$$
の和を求めよ。

ある野生動物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 3\\ s& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $s$ は 0 歳個体が 1 年後に生き残る割合で、$0<s\leqq 1$ を満たす定数である。

$L$ の固有値のうち絶対値が最大のもの（優固有値）は正の実数で、長期的には個体群全体が 1 年ごとにこの優固有値の倍率で増加する。この倍率がちょうど $\frac{3}{2}$ となるような $s$ の値を求めよ。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $c=(c_0,c_1,\dots ,c_6)=(3,1,0,0,0,0,1)$ に対し、$7$ 次正方行列 $C=(C_{jk}{)}_{0\le j,k\le 6}$ を
$$C_{jk}=c_{(k-j)\mathrm{mod}7}$$
で定める（巡回行列）。すなわち $C$ は、対角成分がすべて $3$ で、$(j,j\pm 1)$ 成分（添字は $7$ を法として考える）がすべて $1$、それ以外の成分が $0$ の行列である。離散フーリエ変換を用いて $C$ の固有値を求めることにより、行列式 $\det C$ の値を求めよ。

3 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、${\mathbb{R}}^3$ の点を列ベクトル $x$ で表して、その $T^3$ における像を $[x]$ と書く。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$
は $\det A=-1$ をみたすので、$f([x])=[Ax]$ により $C^{\infty }$ 級微分同相写像 $f:T^3\to T^3$ が定まる。$f$ の写像トーラス
$$M=(T^3\times \mathbb{R})/\sim ,([x],t)\sim (f([x]),t+1)$$
（$\sim$ はこの関係が生成する同値関係）は 4 次元の連結なコンパクト $C^{\infty }$ 級多様体である。$b_k={\dim }_{\mathbb{R}}{H}_{\mathrm{dR}}^k(M)$ とするとき、$(b_1,b_2,b_3,b_4)$ をこの順に組で求めよ。

$2$ 次実正方行列全体 ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ に、フロベニウス内積 $⟨X,Y⟩=\mathrm{tr}(X^{\top }Y)$ とフロベニウスノルム $\Vert X{\Vert }_F=\sqrt{⟨X,X⟩}$ を入れる。$X$ の特異値を ${\sigma }_1(X)\ge {\sigma }_2(X)\ge 0$ とし、核ノルムを $\Vert X{\Vert }_{\ast }={\sigma }_1(X)+{\sigma }_2(X)$ と定める。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\to \mathbb{R}$ を $f(X)=3\Vert X{\Vert }_{\ast }$ で定め、そのモロー包
$$e(A)=\underset{X\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}}{\min }\left\{f(X)+\frac{1}{2}\Vert X-A{\Vert }_F^2\right\}$$
を考える。
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right)$$
のとき、$e(A)$ の値を求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 2& 1\\ -3& 1& 4\end{array}\right)$$
について、$n$ を正の整数とするとき、$A^n$ の $(3,1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$（$n=0,1,2,\dots$）を $x_0=2,y_0=1,z_0=0$ および
$$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=3x_n+y_n\\ y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\ z_{n+1}=y_n+3z_n\end{array}$$
で定める。$n$ を 0 以上の整数とするとき、$z_n$ を $n$ の式で求めよ。

実数 $x,y,z$ の 2 次形式
$$Q(x,y,z)=2x^2+y^2-4xy-4yz$$
について、$x^2+y^2+z^2=1$ を満たしながら $(x,y,z)$ が動くときの $Q$ の最大値と最小値を、この順に組で求めよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ -4& -1& 0& 0\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$$
の最小多項式（$f(A)=O$ となる最高次の係数が $1$ の多項式 $f(x)$ のうち次数が最小のもの）を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

質量 $M$、1 辺の長さ $a$ の一様な立方体がある。立方体の 1 つの頂点 $\mathrm{O}$ を原点とし、$\mathrm{O}$ から出る 3 本の辺にそって $x$, $y$, $z$ 軸をとる。点 $\mathrm{O}$ のまわりの慣性テンソルの主慣性モーメント（慣性テンソルの固有値）のうち、最小のものと最大のものをこの順に組で求め、$M$, $a$ を用いて表せ。

天井に、ばね定数 $k$ の軽いばね 1 の上端を固定し、その下端に質量 $m$ の小物体 A をつけた。さらに A の下に、ばね定数 $k$ の軽いばね 2 の上端をつけ、その下端に質量 $m$ の小物体 B をつけた（$m>0$, $k>0$）。A, B は同じ鉛直線上で、鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの A, B の変位を、鉛直下向きを正としてそれぞれ $x_1,x_2$ とする。この系の 2 つの基準振動のうち、角振動数が小さい方の基準振動では、$x_1$ と $x_2$ は $x_1=a_1\cos (\omega t+\varphi )$、$x_2=a_2\cos (\omega t+\varphi )$（$a_2\ne 0$）の形で振動する。このときの振幅の比 $\frac{a_1}{a_2}$ を求めよ。

ある生物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。個体数は
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\\ x_3(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{3}{4}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとする（2 歳の個体は繁殖後に死亡する）。初期値を $x_1(0)=100$, $x_2(0)=0$, $x_3(0)=0$ とするとき、全個体数に占める第 1 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

ある動物の雌の個体群を年齢により 3 つの階級に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。個体数は実数値をとるものとして扱い、その推移は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
で与えられるとする。初期値が $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\\ 10\end{array}\right)$ のとき、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D-L-U$（$D$ は $A$ の対角部分、$-L$ は狭義下三角部分、$-U$ は狭義上三角部分）と分解し、ヤコビ法の反復行列を $B_J=D^{-1}(L+U)$、ガウス・ザイデル法の反復行列を $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ とする。

$B_J$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と $B_{GS}$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ の組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ をこの順に求めよ。ただし、正方行列 $M$ のスペクトル半径 $\rho (M)$ とは、$M$ の固有値（複素数も含む）の絶対値の最大値である。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。この魚について、次のことがわかっている。
- 1 年間に、1 歳の雌 1 匹は平均 $4$ 匹、2 歳の雌 1 匹は平均 $16$ 匹の雌の 0 歳個体を残す。0 歳の個体は子を残さない。
- 漁獲がなければ、0 歳の個体が 1 年後に生き残って 1 歳になる割合は $\frac{1}{2}$、1 歳の個体が 1 年後に 2 歳になる割合は $\frac{1}{2}$ である。2 歳の個体は 1 年後には残らない。

ここで、毎年 0 歳の個体だけを対象に漁獲を行い、0 歳の個体が 1 歳になるまでに、漁獲がない場合に生き残るはずだった個体のうち割合 $h$（$0\le h<1$）が取り除かれるとする。このとき、$\mathbf{x}(t)={}^t(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ は
$$\mathbf{x}(t+1)=L_h\mathbf{x}(t),L_h=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1-h}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
にしたがって推移する。$L_h$ の正の実数の固有値（ただ 1 つ存在する）がちょうど $1$ となり、個体群が長期的に増えも減りもしなくなるような $h$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ 上の実 2 次形式
$$q(x)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\left(x={}^t(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\right)$$
を考える。$q(x)={}^{t}xAx$ を満たす $n$ 次実対称行列 $A$ の正の固有値の個数を $p$、負の固有値の個数を $r$ とし（いずれも重複度を込めて数える）、組 $(p,r)$ を $q$ の符号という。$q$ の符号が $(1,n-1)$ であることを証明せよ。

ただし、実対称行列は直交行列によって対角化できること、および対角化可能な行列では各固有値の重複度がその固有空間の次元に等しいことは用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$E$ を $n$ 次単位行列とする。$n$ 次実正方行列 $A$ が
$$A^2-3A+2E=O$$
を満たすとする（$O$ は $n$ 次零行列）。このとき、ある $n$ 次実正則行列 $P$ が存在して、$P^{-1}AP$ が対角成分がすべて $1$ または $2$ である対角行列になることを証明せよ。

ただし、${\mathbb{R}}^n$ の部分空間 $U,W$ について $\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$ が成り立つことは用いてよい。

$n\ge 2$ を整数、$k$ を $1\le k\le n-1$ を満たす整数とする。${\mathbb{S}}^n$ を $n$ 次実対称行列全体とし、$X,Y\in {\mathbb{S}}^n$ に対して $⟨X,Y⟩=\mathrm{tr}(XY)$、$X⪰0$ は $X$ が半正定値であること、$X⪯Y$ は $Y-X⪰0$ を表す。$I$ を $n$ 次単位行列とする。

$C\in {\mathbb{S}}^n$ の固有値を重複を込めて ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ とし、${\lambda }_k>{\lambda }_{k+1}$ と仮定する。$W$ を、${\lambda }_k$ 以上の固有値に属する $C$ の固有空間すべての和 $W={\sum }_{\mu \ge {\lambda }_k}\mathrm{Ker}(C-\mu I)$ とし、$P$ を ${\mathbb{R}}^n$ から $W$ への直交射影の行列とする。半正定値計画
$$\text{maximize}⟨C,X⟩\text{subject to}\mathrm{tr}X=k,0⪯X⪯I,X\in {\mathbb{S}}^n$$
について、その最適解（実行可能解のうち $⟨C,X⟩$ が最大となるもの）は $P$ ただ一つであることを証明せよ。

ただし、実対称行列が直交行列で対角化できること、およびこの半正定値計画の最適値が ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_k$ であることは用いてよい。

2 次元平面上の粒子（座標 $(x,y)$）が、次の過減衰ランジュバン方程式に従って運動する。
$$\eta \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}+{\xi }_x(t),\eta \frac{dy}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial y}+{\xi }_y(t)$$
ここで $\eta >0$ は摩擦係数（$x,y$ 方向で共通）であり、${\xi }_i(t)$ は平均 $0$ のガウス白色雑音で
$$⟨{\xi }_i(t){\xi }_j(t^{\prime })⟩=2\eta k_{B}T{\delta }_{ij}\delta (t-t^{\prime })$$
を満たす（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。ポテンシャルは
$$U(x,y)=\frac{U_0}{b^4}{\left(x^2-b^2\right)}^2+\frac{\kappa }{2}{\left(y-sx\right)}^2$$
で与えられる。ただし $U_0>0$, $b>0$, $\kappa >0$ は定数、$s$ は無次元の実数の定数である。このポテンシャルは $(x,y)=(\pm b,\pm sb)$（複号同順）に 2 つの極小をもち、原点が両者を結ぶ鞍点である。

$x<0$ 側の極小のまわりで熱平衡に達した粒子が、鞍点を越えて $x>0$ 側の極小へ移る遷移率（単位時間あたりの片道の遷移確率）$k$ を考える。障壁が十分高い極限 $k_{B}T\ll U_0$（あわせて $k_{B}T$ は極小・鞍点まわりのポテンシャルの 2 次近似が十分よい程度に小さい）で、$k$ の主要項を $U_0,b,\kappa ,s,\eta ,k_B,T$ を用いて求めよ。

$a$ を正の実数とし、実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列を
$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$$
とする。$A$ を対角部分 $D$、狭義下三角部分 $L$、狭義上三角部分 $U$ に分けて $A=D+L+U$ と書く。ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
とヤコビ法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U){\mathbf{x}}^{(k)}+D^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
を考える。任意の $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$ と任意の初期ベクトル ${\mathbf{x}}^{(0)}\in {\mathbb{R}}^3$ に対して反復が収束するような $a$ の範囲は、ガウス・ザイデル法では $a>\alpha$、ヤコビ法では $a>\beta$ と表される。組 $(\alpha ,\beta )$ を求めよ。

$E$ を 6 次単位行列とする。複素数を成分とする 6 次正方行列 $A$ が次の 3 つの条件を満たしている。

• 固有多項式は $(x-2{)}^4(x+1{)}^2$ である。
• 最小多項式は $(x-2{)}^2(x+1{)}^2$ である。
• $\mathrm{rank}(A-2E)=4$ である。

6 次複素正方行列全体のなす複素線形空間を $M_6(\mathbb{C})$ とする。その部分空間
$$C(A)=\{X\in M_6(\mathbb{C})\mid AX=XA\}$$
の（複素線形空間としての）次元を求めよ。

$k$ を正の実数の定数とし、${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-k\log \left(e^x+e^y\right)$$
を考える。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 全体で凸関数となるような $k$ の最大値を $K$ とする。$K$ と、$k=K$ のときの $f$ の ${\mathbb{R}}^2$ 上での最小値を、この順に組 $(K,\text{最小値})$ で求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団を、人口の割合がともに $\frac{1}{2}$ である 2 つのグループ（グループ 1, グループ 2）に分ける。時刻 $t\geqq 0$ におけるグループ $j$ $(j=1,2)$ の感受性者・感染者・回復者の、人口全体に対する割合をそれぞれ $s_j(t)$, $i_j(t)$, $r_j(t)$ とする。これらは次の 2 グループ SIR モデルに従うとする。
$$\frac{d{s}_j}{dt}=-\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2),\frac{d{i}_j}{dt}=\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2)-\gamma i_j,\frac{d{r}_j}{dt}=\gamma i_j(j=1,2)$$
ここで $c_1=1$, $c_2=2$ は各グループの接触の活発さを表す定数であり、$\beta >0$, $\gamma >0$ は値の分からない定数である。初期条件は $s_j(0)+i_j(0)=\frac{1}{2}$, $r_j(0)=0$, $i_j(0)>0$ $(j=1,2)$ とし、初期の感染者の割合は無視できるほど小さいとして、$i_1(0),i_2(0)\to +0$ の極限で考える（すなわち、最終規模の関係式においては $s_j(0)=\frac{1}{2}$ とする）。また $t\to \infty$ で $i_j(t)\to 0$ となり、$s_j(t)$ は正の値 $s_j(\infty )$ に収束するものとする。

流行が終わった後の調査で、グループ 1 の人々のうちちょうど半数が一度も感染しなかったこと、すなわち $s_1(\infty )=\frac{1}{4}$ であることが分かった。このとき、感染のない平衡状態 $(s_1,s_2,i_1,i_2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)$ における次世代行列のスペクトル半径として定義される基本再生産数 $R_0$ を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。$n$ を正の整数とし、ブレイド
$${\beta }_n=({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^n\in B_3$$
の閉包として得られる（向き付けられた）絡み目を $L_n$ とする（例えば $L_2$ は $4_1$、$L_3$ はボロミアン環である）。

絡み目 $L$ の行列式を $\det (L)=|{\Delta }_L(-1)|$ で定める。ここで ${\Delta }_L(t)$ は $L$ の 1 変数アレクサンダー多項式（単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて定まる）である。

次の事実を用いてよい。$B_3$ の被約ビュラウ表現 $\psi :B_3\to G{L}_2(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ は
$$\psi ({\sigma }_1)=\left(\begin{array}{cc}-t& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\psi ({\sigma }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& -t\end{array}\right)$$
で与えられ、任意の $\beta \in B_3$ に対してその閉包 $\hat{\beta }$ について
$$(1+t+t^2){\Delta }_{\hat{\beta }}(t)\doteq \det (I-\psi (\beta ))$$
（$\doteq$ は単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて等しいことを表す）が成り立つ。

$\det (L_n)$ を $n$ の式で表せ。

${\mathcal{S}}^5$ を $5$ 次実対称行列全体とし、$X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。$X=(X_{ij})\in {\mathcal{S}}^5$ を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(X)=(X_{12}+X_{23}+X_{34}+X_{45}+X_{15})+\frac{1}{2}(X_{13}+X_{24}+X_{35}+X_{14}+X_{25})$$
$$\text{subject to}{X}_{ii}=1(i=1,2,3,4,5),X⪰O.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値（$f(X)$ の最小値）を求めよ。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。

ある包接化合物の結晶では、ゲスト分子がホスト格子の細長いチャネルの中に一列に並んでいる。各ゲスト分子は $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}$ の 3 通りの配向のどれか 1 つをとる。ただし、となり合う 2 分子がともに配向 $\mathrm{a}$ をとると立体的に衝突するため、その配置は実現しない。それ以外のとなり合う配向の組み合わせはすべて許され、許されるすべての配置はエネルギーが等しい（縮退している）とする。

結晶を $0\mathrm{K}$ に向けて冷やしても配向の乱れは凍結されたまま残り、許されるすべての配置が等しい確率で実現しているとする。チャネルは互いに独立で、結晶全体のゲスト分子は $1$ mol（$N=N_{\mathrm{A}}$ 個）、各チャネル内の分子数は十分大きく、チャネルの端の影響は無視できるとする。ボルツマンの式 $S=k_{\mathrm{B}}\log W$（$W$ は配置の数）と $R=N_{\mathrm{A}}{k}_{\mathrm{B}}$ を用いて、ゲスト分子の配向によるモル残余エントロピーを $R$ を用いた式で求めよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 1& 0& 0& 2\end{array}\right)$$
の最小多項式 ${\phi }_A(x)$（${\phi }_A(A)=O$ を満たす最高次の係数が $1$ の多項式のうち次数が最小のもの）を求めよ。

$E$ を 3 次単位行列とする。実数を成分とする 3 次正方行列 $A$ が
$$A^2-3A+2E=O,\mathrm{tr}A=4$$
を満たしている。$n$ を正の整数とするとき、行列式 $\det (A^n+A)$ を $n$ の式で求めよ。

実数を成分とする $4$ 次正方行列全体のなす $16$ 次元の実線形空間を $V=M_4(\mathbb{R})$ とする。$V$ 上の 2 次形式 $Q$ を
$$Q(X)=\mathrm{tr}(X^2)-{\left(\mathrm{tr}X\right)}^2(X\in V)$$
で定める。$Q$ の符号（シグネチャ）を $(p,q)$ とする。ここで $p$ は $Q$ の標準形に現れる正の係数の個数、$q$ は負の係数の個数である。組 $(p,q)$ を求めよ。