数値解析の問題

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D-L-U$（$D$ は $A$ の対角部分、$-L$ は狭義下三角部分、$-U$ は狭義上三角部分）と分解し、ヤコビ法の反復行列を $B_J=D^{-1}(L+U)$、ガウス・ザイデル法の反復行列を $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ とする。

$B_J$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と $B_{GS}$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ の組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ をこの順に求めよ。ただし、正方行列 $M$ のスペクトル半径 $\rho (M)$ とは、$M$ の固有値（複素数も含む）の絶対値の最大値である。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D+L+U$（$D$ は対角部分、$L$ は狭義下三角部分、$U$ は狭義上三角部分）と分解する。このとき、ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
の反復行列 $G=-(D+L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (G)$（固有値の絶対値の最大値）を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D-L-U$（$D$ は $A$ の対角部分、$-L$ は狭義下三角部分、$-U$ は狭義上三角部分）と分解し、ヤコビ法の反復行列を $B_J=D^{-1}(L+U)$、ガウス・ザイデル法の反復行列を $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ とする。行列 $B$ のスペクトル半径を $\rho (B)=\max \{|\lambda |:\lambda \text{ は }B\text{ の固有値}\}$ と定める。$\rho (B_J)$ と $\rho (B_{GS})$ をこの順に組で求めよ。

$a$ を正の実数とし、実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列を
$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$$
とする。$A$ を対角部分 $D$、狭義下三角部分 $L$、狭義上三角部分 $U$ に分けて $A=D+L+U$ と書く。ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
とヤコビ法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U){\mathbf{x}}^{(k)}+D^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
を考える。任意の $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$ と任意の初期ベクトル ${\mathbf{x}}^{(0)}\in {\mathbb{R}}^3$ に対して反復が収束するような $a$ の範囲は、ガウス・ザイデル法では $a>\alpha$、ヤコビ法では $a>\beta$ と表される。組 $(\alpha ,\beta )$ を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A$ を対角行列 $D$、対角成分が $0$ の下三角行列 $L$、対角成分が $0$ の上三角行列 $U$ を用いて $A=D-L-U$ と分解する。ヤコビ法の反復行列 $B_J=D^{-1}(L+U)$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と、ガウス・ザイデル法の反復行列 $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ を、この順に組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ で求めよ。ただし、行列 $B$ のスペクトル半径 $\rho (B)$ は $B$ の固有値の絶対値の最大値とする。