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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A x = b$ の係数行列が
$A = (4213)$
であるとする。 $A$ を対角行列 $D$ 、対角成分が $0$ の下三角行列 $L$ 、対角成分が $0$ の上三角行列 $U$ を用いて $A = D - L - U$ と分解する。ヤコビ法の反復行列 $B_{J} = D^{- 1} (L + U)$ のスペクトル半径 $ρ (B_{J})$ と、ガウス・ザイデル法の反復行列 $B_{GS} = (D - L)^{- 1} U$ のスペクトル半径 $ρ (B_{GS})$ を、この順に組 $(ρ (B_{J}), ρ (B_{GS}))$ で求めよ。ただし、行列 $B$ のスペクトル半径 $ρ (B)$ は $B$ の固有値の絶対値の最大値とする。

この問題で使うもの

ヤコビ法・ガウス・ザイデル法の収束（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「ヤコビ法・ガウス・ザイデル法の収束」の技能を使う。まず $A = D - L - U$ と分解し、2 つの反復行列を作ってそれぞれの固有値を求める。

ヒント 2

$L, U$ は $A$ の下側・上側の非対角成分に $- 1$ を掛けたもの。 $B_{J} = D^{- 1} (L + U)$ 、 $B_{GS} = (D - L)^{- 1} U$ を計算し、特性多項式 $det (B - λ E) = 0$ を解く。

ヒント 3

$B_{J} = (0 - \frac{2}{3} - \frac{1}{4} 0)$ で、特性多項式は $λ^{2} - \frac{1}{6}$ 。 $(D - L)^{- 1} = \frac{1}{12} (3 - 2 04)$ を $U$ に掛けると $B_{GS}$ は上三角行列になる。

答えと解説

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(\frac{6}{6}, \frac{1}{6})

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解説を読む

手順 1： $A = D - L - U$ と分解する。
$D = (4003), L = (0 - 2 00), U = (00 - 1 0)$
実際に $D - L - U = (4213) = A$ となる（ $L, U$ は $A$ の非対角成分の符号を変えたものであることに注意）。

手順 2：ヤコビ法の反復行列とスペクトル半径。
$D^{- 1} = (\frac{1}{4} 0 0 \frac{1}{3})$ , $L + U = (0 - 2 - 1 0)$ より
$B_{J} = D^{- 1} (L + U) = (0 - \frac{2}{3} - \frac{1}{4} 0) .$
特性多項式は
$det (B_{J} - λ E) = λ^{2} - (- \frac{1}{4}) (- \frac{2}{3}) = λ^{2} - \frac{1}{6}$
なので、固有値は $λ = \pm \frac{1}{6}$ 。よって
$ρ (B_{J}) = \frac{1}{6} = \frac{6}{6} .$

手順 3：ガウス・ザイデル法の反復行列とスペクトル半径。
$D - L = (4203)$ で、その行列式は $12$ なので
$(D - L)^{- 1} = \frac{1}{12} (3 - 2 04) .$
したがって
$B_{GS} = (D - L)^{- 1} U = \frac{1}{12} (3 - 2 04) (00 - 1 0) = \frac{1}{12} (00 - 3 2) = (00 - \frac{1}{4} \frac{1}{6}) .$
これは上三角行列なので、固有値は対角成分の $0, \frac{1}{6}$ 。よって
$ρ (B_{GS}) = \frac{1}{6} .$

手順 4：収束の判定（参考）。
$ρ (B_{J}) = \frac{6}{6} \approx 0.408 < 1$ , $ρ (B_{GS}) = \frac{1}{6} < 1$ なので、どちらの反復法も任意の初期値から収束する。また $ρ (B_{GS}) = ρ (B_{J})^{2}$ となっており、ガウス・ザイデル法のほうが速く収束する。

答え： $(\frac{6}{6}, \frac{1}{6})$

別解

$A = D - L - U$ より $D = (4003)$ 、 $L = (0 - 2 00)$ 、 $U = (00 - 1 0)$ 。

【ヤコビ法】
$B_{J} = D^{- 1} (L + U) = (1/4 0 0 1/3) (0 - 2 - 1 0) = (0 - 2/3 - 1/4 0)$ 。
特性方程式は $λ^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 0$ 、すなわち $λ^{2} = \frac{1}{6}$ 。よって $λ = \pm \frac{1}{6}$ で、 $ρ (B_{J}) = \frac{1}{6} = \frac{6}{6}$ 。

【ガウス・ザイデル法】
$D - L = (4203)$ なので $(D - L)^{- 1} = \frac{1}{12} (3 - 2 04)$ 。
$B_{GS} = \frac{1}{12} (3 - 2 04) (00 - 1 0) = (00 - 1/4 1/6)$ 。
上三角行列なので固有値は対角成分の $0, \frac{1}{6}$ で、 $ρ (B_{GS}) = \frac{1}{6}$ 。

検算：この行列では $ρ (B_{GS}) = ρ (B_{J})^{2} = \frac{1}{6}$ が成り立つ。

答え： $(\frac{6}{6}, \frac{1}{6})$

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