数値解析

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-3$ を考える。$f(1)=-2<0$, $f(2)=1>0$ であり、$f$ は連続であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[1,2]$ に解をもつ。

$a_0=1$, $b_0=2$ とし、$k=0,1,2,\dots$ に対して次の手順（二分法）で区間 $[a_{k+1},b_{k+1}]$ を定める。

• 中点 $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ を計算する。
• $f(a_k)f(c_k)<0$ ならば $a_{k+1}=a_k$, $b_{k+1}=c_k$ とする。
• $f(a_k)f(c_k)>0$ ならば $a_{k+1}=c_k$, $b_{k+1}=b_k$ とする。

この手順を 3 回行って得られる区間 $[a_3,b_3]$ について、$a_3$ と $b_3$ をこの順に組 $(a_3,b_3)$ で求めよ。答えは分数で厳密に答えること。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-5$ を考える。$f(2)=-1<0$、$f(3)=4>0$ であり、$f$ は連続である。よって方程式 $f(x)=0$ は区間 $[2,3]$ に実数解をもつ。

$a_0=2,b_0=3$ とし、次の手順（二分法）を $n=0,1,2$ について順に行う。

中点 $c=\frac{a_n+b_n}{2}$ をとる。

• $f(a_n)f(c)<0$ ならば $a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c$ とする。
• $f(a_n)f(c)>0$ ならば $a_{n+1}=c,b_{n+1}=b_n$ とする。

（この問題では途中で $f(c)=0$ となることはない。）

この手順を 3 回行って得られる区間 $[a_3,b_3]$ の両端 $a_3,b_3$ を、この順に組 $(a_3,b_3)$ として分数で答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-5$ を考える。$f(2)=-1<0$、$f(3)=4>0$ であり、$f$ は連続であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[2,3]$ に解をもつ。

この方程式に二分法を適用する。$a_0=2,b_0=3$ とし、$n=0,1,2,\dots$ に対して次の操作を行う。

• 中点 $c_n=\frac{a_n+b_n}{2}$ を求める。
• $f(a_n)f(c_n)<0$ ならば $a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c_n$ とする。
• $f(a_n)f(c_n)>0$ ならば $a_{n+1}=c_n,b_{n+1}=b_n$ とする。

この操作を 3 回行って得られる区間 $[a_3,b_3]$ の端点を、$(a_3,b_3)$ の順に分数で答えよ。（この途中で $f(c_n)=0$ となることはない。）

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-x-1$ を考える。方程式 $f(x)=0$ の正の解を、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で近似する。初期値を $x_0=2$ とするとき、$x_1,x_2$ を既約分数で表し、この順に組 $(x_1,x_2)$ として答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-7$ を考える。方程式 $f(x)=0$ の正の解 $\sqrt{7}$ の近似値を、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で求める。初期値を $x_0=3$ とするとき、$x_2$ の値を既約分数で求めよ。

$\sqrt{7}$ の近似値を求めるために、実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-7$ を考える。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(x_n,f(x_n))$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とする。これにより、ニュートン法の反復式
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
が得られる。初期値を $x_0=3$ とするとき、$x_2$ を既約分数で求めよ。

関数 $g(x)=\frac{x^2+6}{5}$ を用いて、実数列 $\{x_n\}$ を
$$x_0=\frac{5}{2},x_{n+1}=g(x_n)(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。この数列は $g$ の不動点（$g(\alpha )=\alpha$ を満たす実数 $\alpha$）のどちらか一方に収束する。収束先の不動点 $\alpha$ と、極限値
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_n-\alpha }$$
を求め、組 $(\alpha ,L)$ の形でこの順に答えよ。

数列 $\{x_n\}$ を
$$x_0=1,x_{n+1}=\frac{x_n^2+6}{5}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。この数列はある実数 $\alpha$ に収束し、すべての $n$ で $x_n\ne \alpha$ であることが知られている。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{x_n-\alpha }$$
を考える。$\alpha$ と $L$ を、この順に組 $(\alpha ,L)$ で答えよ。

次数 $2$ 以下の実数係数の多項式 $p(x)$ が、相異なる $3$ 点で次の値をとる。
$$p(-1)=3,p(1)=1,p(2)=6$$
このような $p(x)$ はただ $1$ つに定まる。ラグランジュ補間を用いて、$p(3)$ の値を求めよ。

実数 $x$ の多項式 $p(x)$ は次数が $2$ 以下で、3 点 $x=-1,1,2$ において
$$p(-1)=5,p(1)=1,p(2)=4$$
を満たす。ラグランジュ補間を用いて、$p(0)$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数の値が、3 点 $x=-1,1,2$ において次のように与えられている。$$\begin{array}{cccc}x& -1& 1& 2\\ f(x)& 4& 2& 7\end{array}$$ この 3 点を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。ラグランジュ補間を用いて、$p(3)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=x^2$ の定積分
$$I={\int }_1^3{x}^{2}dx$$
を考える。区間 $[1,3]$ を分割せずにそのまま 1 つの区間とみなし、$h=3-1=2$ として台形公式
$$T=\frac{h}{2}(f(1)+f(3))$$
で近似値 $T$ を求める。このときの誤差 $T-I$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^3$ について、定積分
$$I={\int }_0^2{x}^{3}dx$$
を考える。区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分し、分点を $x_k=\frac{k}{2}(k=0,1,2,3,4)$ とする。複合台形公式
$$T=\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\}$$
による近似値 $T$ と厳密値 $I$ との誤差 $T-I$ を求めよ。

$f(x)=x^2$ とし、定積分 $$I={\int }_1^3{x}^{2}dx$$ を考える。区間 $[1,3]$ を幅 $h=1$ の 2 つの小区間に等分し、分点を $x_0=1,x_1=2,x_2=3$ とする。複合台形公式 $$T=\frac{h}{2}\{f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\}$$ で求めた近似値 $T$ と厳密値 $I$ との誤差 $T-I$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ についての初期値問題
$$y^{\prime }=t+y,y(0)=1$$
を考える。刻み幅 $h=0.5$ のオイラー法
$$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k),f(t,y)=t+y,t_k=kh(k=0,1,2,\dots )$$
を $y_0=1$ から 2 ステップ適用して得られる、$y(1)$ の近似値 $y_2$ を分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ についての初期値問題
$$y^{\prime }=t+y,y(0)=1$$
を考える。刻み幅 $h=0.1$ のオイラー法
$$t_k=0.1k,y_{k+1}=y_k+h(t_k+y_k)(k=0,1,2,\dots ),y_0=1$$
で近似値を計算する。$y(0.2)$ の近似値 $y_2$ を求めよ。答えは分数（または有限小数）で厳密に答えよ。

初期値問題
$$y^{\prime }=t+y,y(0)=1$$
に、刻み幅 $h=0.1$ のオイラー法
$$y_{k+1}=y_k+hf(t_k,y_k),t_k=0.1k$$
を適用する（$f(t,y)=t+y$, $t_0=0$, $y_0=1$）。2 ステップ進めて得られる $y(0.2)$ の近似値 $y_2$ を、分数または有限小数で厳密に求めよ。

実数を成分とする対称行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルのユークリッドノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ に関する $A$ の条件数
$${\kappa }_2(A)=\Vert A{\Vert }_2\Vert A^{-1}{\Vert }_2$$
を求めよ。

実数を成分とする行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1={\sum }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルムを $\Vert \cdot {\Vert }_1$ とする。このノルムに関する $A$ の条件数
$${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
を求めよ。

実数を成分とする行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$$
を考える。ベクトルの $1$ ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ から誘導される行列ノルム $\Vert \cdot {\Vert }_1$ に関する $A$ の条件数
$${\kappa }_1(A)=\Vert A{\Vert }_1\Vert A^{-1}{\Vert }_1$$
を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D-L-U$（$D$ は $A$ の対角部分、$-L$ は狭義下三角部分、$-U$ は狭義上三角部分）と分解し、ヤコビ法の反復行列を $B_J=D^{-1}(L+U)$、ガウス・ザイデル法の反復行列を $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ とする。行列 $B$ のスペクトル半径を $\rho (B)=\max \{|\lambda |:\lambda \text{ は }B\text{ の固有値}\}$ と定める。$\rho (B_J)$ と $\rho (B_{GS})$ をこの順に組で求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A$ を対角行列 $D$、対角成分が $0$ の下三角行列 $L$、対角成分が $0$ の上三角行列 $U$ を用いて $A=D-L-U$ と分解する。ヤコビ法の反復行列 $B_J=D^{-1}(L+U)$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と、ガウス・ザイデル法の反復行列 $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ を、この順に組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ で求めよ。ただし、行列 $B$ のスペクトル半径 $\rho (B)$ は $B$ の固有値の絶対値の最大値とする。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3+x-2$ を考える。方程式 $f(x)=0$ はただ 1 つの実数解 $\alpha =1$ をもつ。初期値 $x_0=2$ としてニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用すると、すべての $n$ で $x_n>1$ を満たしながら $x_n\to 1$ となることが知られている。誤差を $e_n=x_n-1$ とおく。正の定数 $p$ と $0$ でない定数 $C$ が存在して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^p}=C$$
が成り立つ。このときの収束の次数 $p$ と誤差定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3-2x-4$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =2$ だけである。初期値 $x_0=3$ からニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で数列 $\{x_n\}$ を作る。このとき、すべての $n$ について $x_n\ne 2$ であり、$x_n\to 2$ $(n\to \infty )$ となる。誤差を $e_n=x_n-2$ とおくとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3+x-2$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =1$ のただ 1 つである。この方程式にニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用する。初期値 $x_0$ は $\alpha$ に十分近くとり、数列 $\{x_n\}$ はすべての $n$ で $x_n\ne 1$ を満たしながら $1$ に収束するものとする。誤差を $e_n=x_n-1$ とおくとき、極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
を求めよ。

ある関数 $f(x)$（$x$ は実数）について、4 点での値が次のようにわかっている。
$$\begin{array}{ccccc}x& -1& 1& 2& 3\\ f(x)& 2& 0& 5& 20\end{array}$$
この 4 点を通る次数 $3$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。差分商の表を作り、ニュートンの補間公式を用いて $p(0)$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)$ について、次の 3 点での値がわかっている。
$$\begin{array}{cccc}x& 1& 3& 4\\ f(x)& 2& 6& 3\end{array}$$
この 3 点を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。差分商の表を作り、ニュートンの補間公式を用いて $p(2)$ の値を求めよ。

$x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)=\sqrt{x}$ について、3 点 $x=1,4,9$ における値 $f(1)=1$, $f(4)=2$, $f(9)=3$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。差分商の表を作り、ニュートンの補間公式を用いて $p(2)$ の値を求めよ。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=\frac{1}{2}\left(f(-1)+3f\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$
を考える。この公式の精度の次数を求めよ。ただし、精度の次数とは「次数が $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号が成り立ち、ある $m+1$ 次多項式に対しては等号が成り立たない」ような 0 以上の整数 $m$ のことである。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=\frac{1}{2}f(-1)+\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{3}\right)$$
を考える。この公式の精度の次数を求めよ。ここで公式の精度の次数とは、次数 $m$ 以下のすべての多項式 $f$ に対して等号 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=Q[f]$ が成り立ち、ある $m+1$ 次の多項式に対しては成り立たないような 0 以上の整数 $m$ のことである。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx \frac{1}{2}f(-1)+\frac{3}{2}f\left(\frac{1}{3}\right)$$
を考える。$f(x)=1,x,x^2,\dots$ を順に代入して、この公式の精度の次数を求めよ。ただし、精度の次数とは「次数が $m$ 以下のすべての多項式に対して公式が等号で成り立ち、ある $m+1$ 次の多項式に対しては成り立たない」ような整数 $m$ のことである。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$, 刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、既約分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty+1,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty+1$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、ホイン法（改良オイラー法）
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+h,y_0+h{k}_1),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$, 刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、既約分数で求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=3x^3+x-4$$
について、3 点 $x=-1,1,2$ における値 $f(-1),f(1),f(2)$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。補間誤差の公式を用いて、$p(4)$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=2x^3+x^2-5$$
について考える。3 点 $x=-1,0,2$ における値 $f(-1),f(0),f(2)$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。補間誤差の公式を用いて、$x=1$ における補間誤差 $f(1)-p(1)$ の値を求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=2x^3+x^2-5$$
について、3 点 $x=0,1,3$ における値 $f(0),f(1),f(3)$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。補間誤差の公式を用いて、$p(2)$ の値を求めよ。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対して、2 点の求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ は、内積 $(g,h)={\int }_{-1}^{1}g(x)h(x)dx$ に関して $1$ と $x$ の両方に直交する、最高次の係数が $1$ の 2 次多項式の零点とする。重み $w_1,w_2$ は、$f(x)=1$ と $f(x)=x$ に対して公式が等号で成り立つように定める（これが 2 点ガウス・ルジャンドル求積である）。

この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
を求めよ。

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対して、2 点ガウス求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ は、内積 $(g,h)={\int }_{-1}^{1}g(x)h(x)dx$ に関して $1,x$ と直交する 2 次のモニック多項式 $p_2(x)=x^2-\frac{1}{3}$ の零点とし、重み $w_1,w_2$ は $f(x)=1,x$ に対して公式が等号で成り立つように定める。

この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
を求めよ。

実数値連続関数 $f$ に対して、区間 $[-1,1]$ 上の積分を 2 点で近似する求積公式
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx Q[f]=w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)(x_1<x_2)$$
を考える。節点 $x_1,x_2$ と重み $w_1,w_2$ は、精度の次数が最大（$3$）になるように定める（2 点のガウス・ルジャンドル求積）。この公式を $f(x)=x^4$ に適用したときの誤差
$$E={\int }_{-1}^1{x}^{4}dx-Q[x^4]$$
の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y^2,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=t+y^2$ とおく。この初期値問題の厳密解 $y(t)$ は $t=0$ の近くで存在し、何回でも微分可能であるとする。刻み幅を $h>0$ として、オイラー法
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0),t_0=0,y_0=1$$
で 1 ステップ進めた近似値を $y_1$ とする。局所誤差が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0)$$
と表されるとき、正の整数 $p$ と実数の定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=2t-y,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=2t-y$ とおく。刻み幅を $h>0$ とし、オイラー法で $t_0=0$ から 1 ステップだけ進めた近似値を
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0)(t_0=0,y_0=1)$$
とする。厳密解 $y(t)$ の $t=h$ での値 $y(h)$ との差（局所誤差）が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})$$
（$p$ は正の整数、$C$ は $0$ でない定数）と表されるとき、$p$ と $C$ をこの順に組 $(p,C)$ で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y^2,y(0)=1$$
を考え、その解を $y(t)$ とする（$t=0$ の近くで何回でも微分できるものとする）。$f(t,y)=t+y^2$ とおき、刻み幅 $h>0$ のオイラー法
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0),t_0=0,y_0=1$$
で $t=h$ における近似値 $y_1$ を求める。このとき、1 ステップの局所誤差が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0)$$
と表されるような正の整数 $p$ と実数の定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=2^x$ について、3 点 $x=0,1,3$ における値 $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(3)=8$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。$p(2)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ について、3 点 $x=1,2,4$ における値 $f(1)=1$, $f(2)=\frac{1}{2}$, $f(4)=\frac{1}{4}$ を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。$x=3$ における補間誤差 $f(3)-p(3)$ の値を求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y,y(0)=1$$
に対し、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップだけ適用する。ここで $f(t,y)=t+y$、$t_0=0$、$y_0=1$ である。$y(1/2)$ の近似値 $y_1$ を分数で求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^4$ について、4 点 $x=-1,0,1,2$ における値 $f(-1)=1$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=16$ を通る次数 $3$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。$x=\frac{1}{2}$ における補間誤差 $f\left(\frac{1}{2}\right)-p\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=y-t^2,y(0)=1$$ を考え、$f(t,y)=y-t^2$ とおく。刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、中点法（2 次のルンゲ・クッタ法の一つ） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=1$ から 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で厳密に求めよ。

実数を成分とする行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ を考える。ベクトルの最大値ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }={\max }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルム（行和ノルム） $$\Vert M{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _j|m_{ij}|$$ を用いて定めた条件数 $${\kappa }_{\infty }(A)=\Vert A{\Vert }_{\infty }\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }$$ の値を求めよ。

定積分 $$I={\int }_0^2{x}^{4}dx$$ を、区間 $[0,2]$ を幅 $h=\frac{1}{2}$ の 4 つの小区間に等分した複合シンプソン公式 $$S=\frac{h}{3}\{f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\}(x_k=kh,f(x)=x^4)$$ で近似する。このときの誤差 $S-I$ の値を、分数で厳密に求めよ。

ある実験で、実数 $x$ に対する測定値 $y$ が次の 4 組得られた。 $$\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 2& 4\\ y& 1& 3& 2& 5\end{array}$$ この 4 点 $(0,1),(1,3),(2,2),(4,5)$ をすべて通る、実数係数で次数 $3$ 以下の多項式 $p(x)$ はただ 1 つ存在する。$p(3)$ の値を求めよ。

$a>0$ とし、$c=\sqrt[3]{a}$ とおく。方程式 $f(x)=x^3-a=0$ にニュートン法を適用し、初期値 $x_0>0$ から
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}=\frac{2x_n^3+a}{3x_n^2}(n=0,1,2,\dots )$$
によって数列 $\{x_n\}$ を定める。このとき、すべての $x_n$ は正で数列は定義でき、さらにすべての正の整数 $n$ に対して
$$0\le x_{n+1}-c\le \frac{(x_n-c{)}^2}{c}$$
が成り立つことを証明せよ。

$x>0$ で定義された実数値関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ について、3 点 $x=1,2,4$ における値を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。補間誤差の公式によれば、ある実数 $\xi$（$1<\xi <4$）が存在して
$$f(3)-p(3)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(3-1)(3-2)(3-4)$$
が成り立つ。この関係式を満たす $\xi$（$1<\xi <4$）はただ 1 つに定まる。$p(3)$ の値と $\xi$ の値を、この順に組 $(p(3),\xi )$ として求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D+L+U$（$D$ は対角部分、$L$ は狭義下三角部分、$U$ は狭義上三角部分）と分解する。このとき、ガウス・ザイデル法
$${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-(D+L{)}^{-1}U{\mathbf{x}}^{(k)}+(D+L{)}^{-1}\mathbf{b}(k=0,1,2,\dots )$$
の反復行列 $G=-(D+L{)}^{-1}U$ のスペクトル半径 $\rho (G)$（固有値の絶対値の最大値）を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-2x-2$ を考える。$f(1)<0<f(2)$ であり、$[1,2]$ において $f^{\prime }(x)=3x^2-2>0$ であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[1,2]$ にただ 1 つの実数解 $\alpha$ をもつ。

まず、$a_0=1,b_0=2$ として二分法を次のように行う。$k=0,1,2,\dots$ に対し $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ とおき、$f(a_k)f(c_k)<0$ ならば $a_{k+1}=a_k,b_{k+1}=c_k$、そうでなければ $a_{k+1}=c_k,b_{k+1}=b_k$ とする。

次に、二分法を 3 回行って得られた $a_3$ を初期値 $x_0=a_3$ として、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$
を 1 回だけ適用した値を $x_1$ とする。

また、$b_N-a_N\leqq 10^{-3}$ を満たす最小の正の整数 $N$ を考える。

$x_1$ と $N$ を、この順に組 $(x_1,N)$ で答えよ。ただし $x_1$ は既約分数で答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-3x+2$ に対し、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を初期値 $x_0=2$ で適用する。このとき数列 $(x_n)$ は $f$ の零点 $x=1$ に収束し、すべての $n$ で $x_n>1$ となることが知られている。

$x_2$ の値と、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-1}{x_n-1}$$
の値を、この順に組で求めよ。$x_2$ は既約分数で答えよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=y^2,y(0)=1$$
の厳密解 $y(t)$ を考える（$0\leqq t<1$）。刻み幅 $h$（$0<h<1$）として、ホイン法（改良オイラー法）
$$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f(t_0+h,y_0+h{k}_1),y_1=y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)$$
を $t_0=0$, $y_0=1$, $f(t,y)=y^2$ として 1 ステップだけ適用し、$y(h)$ の近似値 $y_1$ を得る。

局所誤差 $y(h)-y_1$ を $h\to 0$ で展開したとき
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0,p\text{は正の整数})$$
となる。組 $(p,C)$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対する数値積分公式
$${\int }_0^{1}f(x)dx\approx w_{0}f(0)+w_{1}f(t)$$
を考える。ここで $w_0,w_1$ は実数の定数、$t$ は $0<t\le 1$ を満たす実数の定数である。この公式の精度の次数（次数 $m$ 以下のすべての実数係数多項式 $f$ に対して等号が厳密に成り立つような最大の整数 $m$）ができるだけ大きくなるように $w_0,w_1,t$ を定めるとき、組 $(w_0,w_1,t)$ を求めよ。

実数を成分とする連立 1 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の係数行列が
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 3& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$
であるとする。$A=D-L-U$（$D$ は $A$ の対角部分、$-L$ は狭義下三角部分、$-U$ は狭義上三角部分）と分解し、ヤコビ法の反復行列を $B_J=D^{-1}(L+U)$、ガウス・ザイデル法の反復行列を $B_{GS}=(D-L{)}^{-1}U$ とする。

$B_J$ のスペクトル半径 $\rho (B_J)$ と $B_{GS}$ のスペクトル半径 $\rho (B_{GS})$ の組 $(\rho (B_J),\rho (B_{GS}))$ をこの順に求めよ。ただし、正方行列 $M$ のスペクトル半径 $\rho (M)$ とは、$M$ の固有値（複素数も含む）の絶対値の最大値である。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-5$ の正の実数解を $\alpha =\sqrt[3]{5}$ とする。初期値 $x_0=2$ からニュートン法 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$ で数列 $\{x_n\}$ を定めると、すべての $n$ について $x_n>\alpha$ であり、$x_n\to \alpha$ $(n\to \infty )$ となる。このとき、極限 $$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^2}$$ の値を求めよ。