数値解析の問題

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-5$ を考える。$f(2)=-1<0$、$f(3)=4>0$ であり、$f$ は連続である。よって方程式 $f(x)=0$ は区間 $[2,3]$ に実数解をもつ。

$a_0=2,b_0=3$ とし、次の手順（二分法）を $n=0,1,2$ について順に行う。

中点 $c=\frac{a_n+b_n}{2}$ をとる。

• $f(a_n)f(c)<0$ ならば $a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c$ とする。
• $f(a_n)f(c)>0$ ならば $a_{n+1}=c,b_{n+1}=b_n$ とする。

（この問題では途中で $f(c)=0$ となることはない。）

この手順を 3 回行って得られる区間 $[a_3,b_3]$ の両端 $a_3,b_3$ を、この順に組 $(a_3,b_3)$ として分数で答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-3$ を考える。$f(1)=-2<0$, $f(2)=1>0$ であり、$f$ は連続であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[1,2]$ に解をもつ。

$a_0=1$, $b_0=2$ とし、$k=0,1,2,\dots$ に対して次の手順（二分法）で区間 $[a_{k+1},b_{k+1}]$ を定める。

• 中点 $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ を計算する。
• $f(a_k)f(c_k)<0$ ならば $a_{k+1}=a_k$, $b_{k+1}=c_k$ とする。
• $f(a_k)f(c_k)>0$ ならば $a_{k+1}=c_k$, $b_{k+1}=b_k$ とする。

この手順を 3 回行って得られる区間 $[a_3,b_3]$ について、$a_3$ と $b_3$ をこの順に組 $(a_3,b_3)$ で求めよ。答えは分数で厳密に答えること。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-2x-2$ を考える。$f(1)<0<f(2)$ であり、$[1,2]$ において $f^{\prime }(x)=3x^2-2>0$ であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[1,2]$ にただ 1 つの実数解 $\alpha$ をもつ。

まず、$a_0=1,b_0=2$ として二分法を次のように行う。$k=0,1,2,\dots$ に対し $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ とおき、$f(a_k)f(c_k)<0$ ならば $a_{k+1}=a_k,b_{k+1}=c_k$、そうでなければ $a_{k+1}=c_k,b_{k+1}=b_k$ とする。

次に、二分法を 3 回行って得られた $a_3$ を初期値 $x_0=a_3$ として、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$
を 1 回だけ適用した値を $x_1$ とする。

また、$b_N-a_N\leqq 10^{-3}$ を満たす最小の正の整数 $N$ を考える。

$x_1$ と $N$ を、この順に組 $(x_1,N)$ で答えよ。ただし $x_1$ は既約分数で答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-x-1$ を考える。方程式 $f(x)=0$ の正の解を、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で近似する。初期値を $x_0=2$ とするとき、$x_1,x_2$ を既約分数で表し、この順に組 $(x_1,x_2)$ として答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3+x-2$ を考える。方程式 $f(x)=0$ はただ 1 つの実数解 $\alpha =1$ をもつ。初期値 $x_0=2$ としてニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用すると、すべての $n$ で $x_n>1$ を満たしながら $x_n\to 1$ となることが知られている。誤差を $e_n=x_n-1$ とおく。正の定数 $p$ と $0$ でない定数 $C$ が存在して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^p}=C$$
が成り立つ。このときの収束の次数 $p$ と誤差定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。