数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数 $f (x) = x^{2} - 3$ を考える。 $f (1) = - 2 < 0$ , $f (2) = 1 > 0$ であり、 $f$ は連続であるから、方程式 $f (x) = 0$ は区間 $[1, 2]$ に解をもつ。

$a_{0} = 1$ , $b_{0} = 2$ とし、 $k = 0, 1, 2, \dots$ に対して次の手順（二分法）で区間 $[a_{k + 1}, b_{k + 1}]$ を定める。

中点 $c_{k} = \frac{a _{k} + b _{k}}{2}$ を計算する。
$f (a_{k}) f (c_{k}) < 0$ ならば $a_{k + 1} = a_{k}$ , $b_{k + 1} = c_{k}$ とする。
$f (a_{k}) f (c_{k}) > 0$ ならば $a_{k + 1} = c_{k}$ , $b_{k + 1} = b_{k}$ とする。

この手順を 3 回行って得られる区間 $[a_{3}, b_{3}]$ について、 $a_{3}$ と $b_{3}$ をこの順に組 $(a_{3}, b_{3})$ で求めよ。答えは分数で厳密に答えること。

この問題で使うもの

二分法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

二分法を使います。毎回、区間の中点での $f$ の符号を調べて、解を含む側の半分の区間を残します。

ヒント 2

$f (a_{k}) < 0$ なので、 $f (c_{k}) < 0$ なら左端を $c_{k}$ に、 $f (c_{k}) > 0$ なら右端を $c_{k}$ に置き換えます。

ヒント 3

1 回目は $c_{0} = \frac{3}{2}$ で $f (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{4} < 0$ なので $[a_{1}, b_{1}] = [\frac{3}{2}, 2]$ 。2 回目は $c_{1} = \frac{7}{4}$ で $f (\frac{7}{4}) = \frac{1}{16} > 0$ なので $[a_{2}, b_{2}] = [\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$ 。あと 1 回同じ操作をします。

答えと解説

答えを見る

(\frac{13}{8}, \frac{7}{4})

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解説を読む

二分法では、毎回区間の中点 $c_{k}$ で $f$ の符号を調べ、両端で符号が異なる（したがって中間値の定理により解を含む）側の半分を新しい区間として残します。 $f (a_{k}) < 0$ であることがわかっているので、 $f (c_{k})$ の符号だけを見ればよいです。

1 回目 $[a_{0}, b_{0}] = [1, 2]$ のとき、
$c_{0} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}, f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{4} < 0.$
$f (a_{0}) < 0$ なので $f (a_{0}) f (c_{0}) > 0$ 。よって $a_{1} = \frac{3}{2}$ , $b_{1} = 2$ 。

2 回目 $[a_{1}, b_{1}] = [\frac{3}{2}, 2]$ のとき、
$c_{1} = \frac{\frac{3}{2} + 2}{2} = \frac{7}{4}, f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{16} - 3 = \frac{1}{16} > 0.$
$f (a_{1}) < 0$ なので $f (a_{1}) f (c_{1}) < 0$ 。よって $a_{2} = \frac{3}{2}$ , $b_{2} = \frac{7}{4}$ 。

3 回目 $[a_{2}, b_{2}] = [\frac{3}{2}, \frac{7}{4}]$ のとき、
$c_{2} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{13}{8}, f (\frac{13}{8}) = \frac{169}{64} - 3 = - \frac{23}{64} < 0.$
$f (a_{2}) < 0$ なので $f (a_{2}) f (c_{2}) > 0$ 。よって $a_{3} = \frac{13}{8}$ , $b_{3} = \frac{7}{4}$ 。

確認として、区間の幅は $b_{3} - a_{3} = \frac{14}{8} - \frac{13}{8} = \frac{1}{8} = \frac{2 - 1}{2 ^{3}}$ となり、二分法で 3 回反復したときの幅 $\frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{3}}$ と一致します。また実際の解 $3 \approx 1.732$ は $[\frac{13}{8}, \frac{7}{4}] = [1.625, 1.75]$ に含まれています。

答え： $(a_{3}, b_{3}) = (\frac{13}{8}, \frac{7}{4})$

別解

$f (x) = x^{2} - 3$ 、 $a_{0} = 1$ 、 $b_{0} = 2$ から始める。

$k = 0$ : $c_{0} = 3/2$ 、 $f (3/2) = 9/4 - 3 = - 3/4 < 0$ 。 $f (a_{0}) = - 2 < 0$ なので $f (a_{0}) f (c_{0}) > 0$ となり、 $a_{1} = 3/2$ 、 $b_{1} = 2$ 。

$k = 1$ : $c_{1} = (3/2 + 2) /2 = 7/4$ 、 $f (7/4) = 49/16 - 48/16 = 1/16 > 0$ 。 $f (a_{1}) < 0$ なので $f (a_{1}) f (c_{1}) < 0$ となり、 $a_{2} = 3/2$ 、 $b_{2} = 7/4$ 。

$k = 2$ : $c_{2} = (3/2 + 7/4) /2 = (13/4) /2 = 13/8$ 、 $f (13/8) = 169/64 - 192/64 = - 23/64 < 0$ 。 $f (a_{2}) < 0$ なので積は正となり、 $a_{3} = 13/8$ 、 $b_{3} = 7/4$ 。

検算: $b_{3} - a_{3} = 7/4 - 13/8 = 1/8 = 1/ 2^{3}$ で、区間幅は 3 回の操作で $1/8$ になっている。また $f (13/8) < 0$ 、 $f (7/4) > 0$ なので、区間内に解 $3 \approx 1.732$ が含まれる。実際 $1.625 < 1.732 < 1.75$ である。

よって $(a_{3}, b_{3}) = (13/8, 7/4)$ 。

この問題の確認

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AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
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