数値解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数 $f (x) = x^{3} - 2 x - 2$ を考える。 $f (1) < 0 < f (2)$ であり、 $[1, 2]$ において $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 > 0$ であるから、方程式 $f (x) = 0$ は区間 $[1, 2]$ にただ 1 つの実数解 $α$ をもつ。

まず、 $a_{0} = 1, b_{0} = 2$ として二分法を次のように行う。 $k = 0, 1, 2, \dots$ に対し $c_{k} = \frac{a _{k} + b _{k}}{2}$ とおき、 $f (a_{k}) f (c_{k}) < 0$ ならば $a_{k + 1} = a_{k}, b_{k + 1} = c_{k}$ 、そうでなければ $a_{k + 1} = c_{k}, b_{k + 1} = b_{k}$ とする。

次に、二分法を 3 回行って得られた $a_{3}$ を初期値 $x_{0} = a_{3}$ として、ニュートン法
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$
を 1 回だけ適用した値を $x_{1}$ とする。

また、 $b_{N} - a_{N} ≦ 1 0^{- 3}$ を満たす最小の正の整数 $N$ を考える。

$x_{1}$ と $N$ を、この順に組 $(x_{1}, N)$ で答えよ。ただし $x_{1}$ は既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

二分法（説明と入口の問題）
ニュートン法の反復（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず二分法の規則どおりに $c_{0}, c_{1}, c_{2}$ での $f$ の符号を順に調べ、 $a_{3}$ を求めましょう。その値を初期値にしてニュートン法の式に代入します。

ヒント 2

$f (a_{k}) < 0$ なので、 $f (c_{k}) < 0$ なら左端が $c_{k}$ に、 $f (c_{k}) > 0$ なら右端が $c_{k}$ に移ります。また、区間幅は $b_{N} - a_{N} = \frac{1}{2 ^{N}}$ です。

ヒント 3

$a_{3} = \frac{7}{4}, b_{3} = \frac{15}{8}$ となります。 $f (\frac{7}{4}) = - \frac{9}{64}$ 、 $f^{'} (\frac{7}{4}) = \frac{115}{16}$ です。区間幅については、 $2^{9} = 512$ と $2^{10} = 1024$ を比べましょう。

答えと解説

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(\frac{407}{230}, 10)

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解説を読む

二分法を 3 回行う。

$f (a_{0}) = f (1) = 1 - 2 - 2 = - 3 < 0$ である。

$k = 0$ ： $c_{0} = \frac{3}{2}$ で、 $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{8} - 3 - 2 = - \frac{13}{8} < 0$ である。 $f (a_{0}) f (c_{0}) > 0$ なので $a_{1} = \frac{3}{2}, b_{1} = 2$ となる。

$k = 1$ ： $c_{1} = \frac{7}{4}$ で、 $f (\frac{7}{4}) = \frac{343}{64} - \frac{7}{2} - 2 = \frac{343 - 352}{64} = - \frac{9}{64} < 0$ である。 $f (a_{1}) < 0$ と同符号なので $a_{2} = \frac{7}{4}, b_{2} = 2$ となる。

$k = 2$ ： $c_{2} = \frac{15}{8}$ で、 $f (\frac{15}{8}) = \frac{3375}{512} - \frac{15}{4} - 2 = \frac{3375 - 2944}{512} = \frac{431}{512} > 0$ である。 $f (a_{2}) < 0$ と異符号なので $a_{3} = \frac{7}{4}, b_{3} = \frac{15}{8}$ となる。

ニュートン法を 1 回適用する。

$x_{0} = \frac{7}{4}$ とする。 $f (x_{0}) = - \frac{9}{64}$ であり、 $f^{'} (x_{0}) = 3 \cdot \frac{49}{16} - 2 = \frac{147 - 32}{16} = \frac{115}{16}$ である。よって
$x_{1} = \frac{7}{4} - \frac{- \frac{9}{64}}{\frac{115}{16}} = \frac{7}{4} + \frac{9}{64} \cdot \frac{16}{115} = \frac{7}{4} + \frac{9}{460} = \frac{805 + 9}{460} = \frac{814}{460} = \frac{407}{230}$
となる。 $407 = 11 \cdot 37$ 、 $230 = 2 \cdot 5 \cdot 23$ なので、これは既約分数である。

参考として $α \approx 1.76929$ であり、 $x_{1} \approx 1.76957$ である。誤差は $∣ x_{0} - α ∣ \approx 0.019$ から $∣ x_{1} - α ∣ \approx 0.0003$ へと急に小さくなる。これは、単純解に対してニュートン法が 2 次収束することの表れである。

二分法の区間幅を考える。

二分法では 1 回ごとに区間の幅がちょうど半分になる。したがって
$b_{N} - a_{N} = \frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{N}} = \frac{1}{2 ^{N}}$
である。 $2^{9} = 512$ より $\frac{1}{512} > 1 0^{- 3}$ であり、 $2^{10} = 1024$ より $\frac{1}{1024} ≦ 1 0^{- 3}$ である。よって条件を満たす最小の正の整数は $N = 10$ である。これは、二分法の誤差の上界が毎回 $\frac{1}{2}$ 倍になる（1 次収束）ことを表している。

以上より、答えは $(x_{1}, N) = (\frac{407}{230}, 10)$ である。

別解

$f (1) = - 3, f (2) = 2$ 。

二分法:
- $k = 0$ : $c_{0} = 3/2$ , $f (3/2) = - 13/8 < 0$ 。 $f (a_{0}) f (c_{0}) > 0$ なので $a_{1} = 3/2, b_{1} = 2$ 。
- $k = 1$ : $c_{1} = 7/4$ , $f (7/4) = - 9/64 < 0$ 。 $a_{2} = 7/4, b_{2} = 2$ 。
- $k = 2$ : $c_{2} = 15/8$ , $f (15/8) = 3375/512 - 15/4 - 2 = 431/512 > 0$ 。 $f (a_{2}) f (c_{2}) < 0$ なので $a_{3} = 7/4, b_{3} = 15/8$ 。

よって $x_{0} = a_{3} = 7/4$ 。

ニュートン法:
$f (7/4) = 343/64 - 7/2 - 2 = - 9/64$ , $f^{'} (7/4) = 3 \cdot 49/16 - 2 = 115/16$ 。
$x_{1} = \frac{7}{4} + \frac{9/64}{115/16} = \frac{7}{4} + \frac{9}{460} = \frac{805 + 9}{460} = \frac{814}{460} = \frac{407}{230}$ 。
$407 = 11 \cdot 37$ , $230 = 2 \cdot 5 \cdot 23$ で互いに素なので既約。

$N$ : 区間幅は $b_{N} - a_{N} = 1/ 2^{N}$ 。 $1/ 2^{N} \leq 1 0^{- 3}$ すなわち $2^{N} \geq 1000$ 。 $2^{9} = 512 < 1000 \leq 1024 = 2^{10}$ より $N = 10$ 。

検算: $407/230 \approx 1.76957$ 。 $α \approx 1.7693$ なので 1 回のニュートン法として妥当。

答え: $(407/230, 10)$

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