関数の連続性と中間値の定理

方程式 $$x^3+2x-20=0$$ は、ただ 1 つの実数解 $\alpha$ をもつ。$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

方程式 $$x^3+x-20=0$$ は、ただ 1 つの実数解をもつ。この実数解を $\alpha$ とするとき、$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

方程式 $$x^3+2x-20=0$$ はただ 1 つの実数解をもつ。この実数解を $\alpha$ とするとき、$n<\alpha <n+1$ を満たす整数 $n$ を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+a}-3}{x-3}& (x\ne 3)\\ b& (x=3)\end{array}$$
で定める。$f(x)$ が $x=3$ で連続であるとき，$a+b$ の値を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2x^{2n+1}+a{x}^2+bx+3}{x^{2n}+1}$$
で定める（$n$ は正の整数）。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続であるとき、$f\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^{2n+1}+x^{2n}+x^3+a^2{x}^2}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるような $a$ の値を求めよ。

$f,g$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数とし、平面の開集合
$$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0,x+y<1\}$$
を考える。このとき
$${\iint }_{D}f(x+y)g\left(\frac{x}{x+y}\right)dxdy=\left({\int }_0^{1}tf(t)dt\right)\left({\int }_0^{1}g(s)ds\right)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$E,F$ を平面の有界な開集合、$\Phi :E\to F$ を $C^1$ 級の全単射で、逆写像も $C^1$ 級であり、ヤコビアン $J_{\Phi }$ が $E$ 上で $0$ にならないものとする。$F$ 上の有界な連続関数 $h$ に対して ${\iint }_{F}h(x,y)dxdy={\iint }_{E}h(\Phi (u,v))|J_{\Phi }(u,v)|dudv$ が成り立つ（両辺の積分は存在する）。
- （累次積分）$(0,1)\times (0,1)$ 上の有界な連続関数 $k(u)l(v)$（$k,l$ は $[0,1]$ 上連続）について ${\iint }_{(0,1{)}^2}k(u)l(v)dudv={\int }_0^{1}k(u)du{\int }_0^{1}l(v)dv$ が成り立つ。

$n$ を $3$ 以上の整数とし、複素多項式
$$p(z)=z^n-3z+1$$
を考える。$p$ の零点（重複度を込めて数える）のうち、開円板 $|z|<1$ に含まれるものはちょうど $1$ 個であり、それは開区間 $(0,1)$ に属する実数であること、さらに残りの $n-1$ 個の零点はすべて円環 $1<|z|<2$ に含まれることを証明せよ。

ただし、次のルーシェの定理と代数学の基本定理は用いてよい。

（ルーシェの定理）$f,g$ が閉円板 $|z|\le r$ を含む領域で正則で、円周 $|z|=r$ 上のすべての点で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立つならば、$f$ と $f+g$ の開円板 $|z|<r$ 内の零点の個数（重複度込み）は等しい。

$n$ を正の整数とし、$D(s)$ を実係数の $n$ 次モニック多項式、$N(s)$ を次数が $n$ 未満の実係数多項式（零多項式でもよい）とする。$L(s)=N(s)/D(s)$ とおき、すべての $\omega \in \mathbb{R}$ で $D(j\omega )\ne 0$ が成り立つと仮定する（$j$ は虚数単位）。実数 $k$ に対し、多項式
$$P_k(s)=D(s)+kN(s)$$
を（開ループ伝達関数 $kL(s)$ の単位フィードバック系の）特性多項式とよび、$P_k(s)$ のすべての根の実部が負であるとき、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であるという。

いま、$k=1$ の閉ループ系は安定であり、さらに
$$\eta =\underset{\omega \in \mathbb{R}}{\inf }|1+L(j\omega )|$$
が $\eta >0$ を満たすとする。このとき、
$$\left|1-\frac{1}{k}\right|<\eta$$
を満たすすべての正の実数 $k$ について、ゲイン $k$ の閉ループ系は安定であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: 次数 $n$ のモニックな複素係数多項式 $s^n+c_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +c_0$ について、その根の実部の最大値は係数 $(c_0,\dots ,c_{n-1})\in {\mathbb{C}}^n$ の連続関数である。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=[x^2]-[x{]}^2$$
を考える。開区間 $0<x<n$ において $f(x)$ が連続でない点の個数を $n$ の式で表せ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^{\infty }f(x{)}^{2}dx=3,{\int }_0^{\infty }f(x{)}^{4}dx=12$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{\infty }|f(x){|}^{3}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を考える。実数値可測関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ で
$${\int }_0^1|f(x)|dx=1,{\int }_0^{1}f(x{)}^{4}dx=8$$
を満たすもの全体を $\mathcal{F}$ とする。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、
$$J(f)={\int }_0^{1}f(x{)}^{2}dx$$
のとりうる値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\le x\le 2$ で定義された関数
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+x}{{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+1}$$
を考える。ただし，$n$ は正の整数である。$f(x)$ が区間 $0\le x\le 2$ で連続となるような $a$ の値の範囲を求めよ。なお，端点 $x=0$, $x=2$ では，それぞれ右側，左側からの連続性を考えるものとする。

$a,b,c$ を実数の定数とする。$0\le x\le 3$ で定義された関数
$$f(x)=[x]\left(x^3+a{x}^2+bx+c\right)$$
が区間 $0\le x\le 3$ で連続であるとする。ただし、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。このとき、$f(x)$ の $0\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$a,b$ を実数の定数とし、すべての実数 $x$ に対して関数 $f(x)$ を
$$f(x)=[x{]}^2+\left(x-[x]\right)\left(a[x]+b\right)$$
で定める。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように定数 $a,b$ を定めたとき、方程式 $f(x)=12$ を満たす正の実数 $x$ を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式
$$e^z=4z^2$$
の解のうち、実部が負であるもの（$\mathrm{Re}z<0$ をみたすもの）の個数を、重複度を込めて求めよ。

すべての実数 $x$ で定義された関数 $f(x)$ が、$x=0$ で連続で $f(0)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して
$$f(2x)=f(x)\cos x+\frac{3}{2}x\sin 2x$$
を満たしている。$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。