複素関数の問題

$f(z)=4z^2-e^z$ とおき、$f$ の零点で $\mathrm{Re}z<0$ のものを数える。左半平面は有界でないので、まず解のある範囲を絞る。

解の範囲を絞る. $\mathrm{Re}z<0$ のとき $|e^z|=e^{\mathrm{Re}z}<1$。解では $4|z{|}^2=|e^z|<1$ なので $|z|<\frac{1}{2}$。よって左半平面の解はすべて単位円板 $|z|<1$ の中にある。

ルーシェの定理で $|z|<1$ の解を数える. $|z|=1$ 上で
$$|4z^2|=4,|e^z|=e^{\mathrm{Re}z}\le e<4$$
なので $|4z^2|>|e^z|$。ルーシェの定理より、$f=4z^2-e^z$ の $|z|<1$ 内の零点の個数（重複度込み）は $4z^2$ の零点の個数と同じで、$2$ 個。

2 個の解を実数として特定する. 実数 $x$ に対して $h(x)=e^x-4x^2$ とおくと
$$h(-1)=e^{-1}-4<0,h(0)=1>0,h(1)=e-4<0.$$
中間値の定理より、$(-1,0)$ と $(0,1)$ にそれぞれ少なくとも 1 つ実数解がある。これらは $|z|<1$ 内の相異なる 2 個の解で、$|z|<1$ 内の解は重複度込みで 2 個しかないので、$|z|<1$ 内の解はちょうどこの 2 つ（どちらも単解）である。

結論. 実部が負の解は $|z|<1$ 内にあり、上の 2 つのうち実部が負なのは $(-1,0)$ にあるもの（約 $-0.41$）だけである。$(0,1)$ にあるもの（約 $0.71$）は実部が正。よって求める個数は $1$。

（注: この方程式は $|z|$ の大きいところに無限個の複素数解をもつが、それらはすべて $\mathrm{Re}z>0$ にある。）

$z=x+iy$, $x<0$ なら $|e^z|=e^x<1$ なので $4|z{|}^2<1$、すなわち $|z|<\frac{1}{2}$。方程式 $e^z=4z^2$ は $(z-\frac{1}{2}{e}^{z/2})(z+\frac{1}{2}{e}^{z/2})=0$ と同値（$4z^2-e^z=4(z-\frac{1}{2}{e}^{z/2})(z+\frac{1}{2}{e}^{z/2})$）。$g(z)=z-\frac{1}{2}{e}^{z/2}$, $h(z)=z+\frac{1}{2}{e}^{z/2}$ とする。$|z|=0.8$ 上で $|\frac{1}{2}{e}^{z/2}|\le \frac{1}{2}{e}^{0.4}<0.75<0.8=|z|$ なので、ルーシェの定理より $g,h$ はそれぞれ $|z|<0.8$ にちょうど 1 個の零点をもつ。$g$ の零点: 実数 $z=\frac{1}{2}{e}^{z/2}$ の解は $z\approx 0.714>0$（$z=0.714$ で右辺 $\approx 0.714$）。これは $\mathrm{Re}>0$。$h$ の零点: $z=-\frac{1}{2}{e}^{z/2}$ の実数解 $z\approx -0.407$（右辺 $=-\frac{1}{2}{e}^{-0.2035}\approx -0.408$）で $\mathrm{Re}<0$。$\mathrm{Re}z<0$ の解は $|z|<\frac{1}{2}<0.8$ にあるので、$g,h$ の $|z|<0.8$ の零点のいずれかであり、該当するのは $h$ の零点 1 個のみ。重複度: 重解なら $f^{\prime }(z)=e^z-8z=4z^2-8z=0$ より $z=0,2$ だが、どちらも解でない。よって単純解。答えは 1。