複素関数の問題

虚軸上に零点はない. $z=iy$（$y$ は実数）とすると $(iy{)}^5=i{y}^5$ なので
$$f(iy)=3+i(y^5+y).$$
実部はつねに $3>0$ なので $f(iy)\ne 0$。

積分路. $R$ を十分大きくとり、$iR$ から虚軸に沿って $-iR$ へ進む線分 ${\gamma }_1$ と、$-iR$ から $z=R{e}^{i\theta }$（$\theta :-\frac{\pi }{2}\to \frac{\pi }{2}$）で $iR$ へ戻る半円弧 ${\gamma }_2$ をつないだ閉曲線 $\Gamma$（反時計回り）を考える。$R$ を大きくすれば右半平面のすべての零点が $\Gamma$ の内部に入るので、偏角の原理より、求める個数 $N$ は
$$N=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_{\Gamma }\arg f(z)$$
である。

${\gamma }_2$ 上の偏角の変化. $f(z)=z^5\left(1+\frac{1}{z^4}+\frac{3}{z^5}\right)$ で、$R\to \infty$ のとき括弧の中は一様に $1$ に近づき、その偏角の変化は $0$ に近づく。$z^5$ の偏角は $5\theta$ なので、$\theta$ が $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くと $5\pi$ 増える。よって ${\Delta }_{{\gamma }_2}\arg f\to 5\pi$。

${\gamma }_1$ 上の偏角の変化. ${\gamma }_1$ 上では $f(iy)=3+i(y^5+y)$ で、$y$ は $R$ から $-R$ まで減少する。実部が正なので $\arg f$ は $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ の中を連続に動き、$\arg f=\arctan \frac{y^5+y}{3}$ と書ける。$y=R$ で $\arctan \frac{R^5+R}{3}\to \frac{\pi }{2}$、$y=-R$ で $\to -\frac{\pi }{2}$ なので、${\Delta }_{{\gamma }_1}\arg f\to -\pi$。

結論. 偏角の変化は整数 $\times 2\pi$ なので、$R\to \infty$ の極限で
$$2\pi N=5\pi -\pi =4\pi ,N=2.$$

（確認: $f$ の実数の零点は $f(-1)=1>0$, $f(-1.2)<0$ より $-1.2<x<-1$ にただ 1 つで負。残り 4 個は共役な 2 組で、そのうち 1 組が右半平面、1 組が左半平面にある。）

偏角の原理を右半平面の半円周囲 $\{|z|=R,\mathrm{Re}z\ge 0\}\cup [-iR,iR]$（反時計回り、$R$ は十分大）に適用する。\n\n虚軸上: $z=iy$ で $f(iy)=3+i(y^5+y)$。実部は常に $3>0$ なので虚軸上に零点はなく、像は右半平面内にとどまる。$y=R\to -R$（$iR$ から $-iR$ へ向かう向き）で偏角は約 $+\pi /2$ から $-\pi /2$ へ連続に変化し、変化量は約 $-\pi$（右半平面内を動くので $\arg$ の分枝は連続で、$\pm \pi /2$ に近づく）。\n\n大きな半円（$-iR\to R\to iR$）: $f(z)\approx z^5$ なので $\arg z$ が $-\pi /2$ から $\pi /2$ まで変化し、偏角の変化は約 $5\pi$。\n\n合計 $5\pi -\pi =4\pi =2\pi N$ より $N=2$。\n\n検算: 実係数なので零点は共役対。実零点は $f(-1)=1>0$、$f(-1.2)\approx -0.69<0$ により $(-1.2,-1)$ に 1 つ（$f^{\prime }=5z^4+1>0$ なので唯一）で左半平面。残り 4 個は 2 組の共役対で、虚軸上に零点がないので右・左に 1 対ずつ（偏角の原理の結果 $N=2$）と整合する。