複素関数の問題

ルーシェの定理を使います。この定理は次の内容です。閉曲線 $C$ とその内部を含む領域で $f,g$ が正則で、$C$ 上のすべての点で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立つならば、$f+g$ と $f$ の $C$ の内部にある零点の個数（重複度込み）は等しくなります。

手順 1：主要項を選ぶ。 円 $C:|z|=2$ 上での各項の絶対値は次のとおりです。
$$|z^5|=32,|-12z^2|=12\cdot 4=48,|3z|=6,|1|=1.$$
最も大きい $-12z^2$ を主要項とし、
$$f(z)=-12z^2,g(z)=z^5+3z+1$$
とおきます。このとき $p=f+g$ です。

手順 2：$C$ 上で $|g|<|f|$ を確かめる。 $|z|=2$ のとき、三角不等式より
$$|g(z)|\le |z{|}^5+3|z|+1=32+6+1=39$$
です。一方、$|f(z)|=12|z{|}^2=48$ です。よって $C$ 上のすべての点で
$$|g(z)|\le 39<48=|f(z)|$$
が成り立ちます。$f,g$ はともに多項式なので、複素平面全体で正則です。

手順 3：ルーシェの定理を適用する。 定理の条件がみたされるので、$p=f+g$ と $f$ の $|z|<2$ にある零点の個数は等しくなります。$f(z)=-12z^2$ の零点は $z=0$（2 重）だけで、これは $|z|<2$ に含まれます。したがって $f$ の零点の個数は重複度込みで $2$ です。

なお、$C$ 上では $|p(z)|\ge |f(z)|-|g(z)|>0$ なので、$p$ は $C$ 上に零点をもちません。

以上より、$p$ の $|z|<2$ にある零点の個数は、重複度込みで $2$ 個です。

円周 $|z|=2$ 上で、$f(z)=-12z^2$、$g(z)=z^5+3z+1$ とおく。

$|f(z)|=12\cdot 4=48$ である。

一方、$|g(z)|\le |z{|}^5+3|z|+1=32+6+1=39<48$ である。

よって $|z|=2$ 上で $|g|<|f|$ が成り立つ。このとき $p=f+g$ は $|z|=2$ 上で零点をもたない。

ルーシェの定理より、$p=f+g$ と $f$ は $|z|<2$ 内で重複度を込めた零点の個数が等しい。

$f(z)=-12z^2$ は $z=0$ に重複度 2 の零点をもつので、$p$ の零点の個数は 2 である。

検算として、次のように確かめる。

• $p(0)=1>0$、$p(0.5)\approx -0.47<0$ より、$(0,0.5)$ に実根がある。
• $p(-0.1)\approx 0.58>0$、$p(-0.2)\approx -0.08<0$ より、$(-0.2,-0.1)$ に実根がある。
• $p(2)=-9<0$、$p(3)=145>0$ より、$(2,3)$ に実根がある。この根は $|z|<2$ の外にある。

零点の積の絶対値は定数項より 1 なので、$|z|<2$ 内に 2 個、外に 3 個という結果と矛盾しない。