複素関数の問題

ルーシェの定理を使う。円 $C:|z|=1$ 上で、ほかの項より絶対値が大きい項（主要項）を探す。

$C$ 上では $|z|=1$ なので、各項の絶対値は
$$|2z^5|=2,|-9z^3|=9,|3z|=3,|-1|=1$$
となる。いちばん大きいのは $-9z^3$ の項なので
$$f(z)=-9z^3,g(z)=2z^5+3z-1$$
とおくと $p=f+g$ である。

$C$ 上で三角不等式より
$$|g(z)|\le 2|z{|}^5+3|z|+1=2+3+1=6<9=|f(z)|$$
が成り立つ。$f,g$ はともに多項式なので $C$ とその内部で正則である。よってルーシェの定理により、$C$ の内部（$|z|<1$）にある $p=f+g$ の零点の個数と $f$ の零点の個数は、重複度を込めて等しい。

なお、$C$ 上では $|p(z)|\ge |f(z)|-|g(z)|\ge 9-6=3>0$ なので、$p$ は $C$ 上に零点をもたず、数え方にあいまいさはない。

$f(z)=-9z^3$ の零点は $z=0$（3 重）だけで、これは $|z|<1$ にある。したがって $f$ の $|z|<1$ 内の零点の個数は重複度込みで $3$ である。

よって $p$ の $|z|<1$ に含まれる零点の個数は $3$ である。

円周 $|z|=1$ 上で、$g(z)=-9z^3$ と $h(z)=2z^5+3z-1$ を考える。

$|g(z)|=9$ である。一方、$|h(z)|\le 2|z{|}^5+3|z|+1=6$ である。

よって $|z|=1$ 上で $|h(z)|\le 6<9=|g(z)|$ が成り立つ。

ルーシェの定理より、$p=g+h$ と $g$ は開円板 $|z|<1$ で重複度を込めて同じ個数の零点をもつ。

$g(z)=-9z^3$ は $z=0$ に重複度 3 の零点をもつ。したがって $p$ の零点は 3 個である。

確認として、$|z|=1$ 上では $|p(z)|\ge 9-6=3>0$ なので、円周上に零点はない。また $p(0)=-1\ne 0$ である。