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ルーシェの定理

閉曲線 $C$ 上で $|g(z)|<|f(z)|$ となる主要項 $f$ を選び、$f+g$ と $f$ の $C$ の内部の零点の数が等しいことを使って、円板・円環領域・半円領域にある多項式や $e^z=4z^2$ のような方程式の解の個数を重複度込みで求められる

前提

• 偏角の原理 （大学数学 複素関数）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 領域 $D$ と、その境界の閉曲線 $C$ を決める。$C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、正の向き（反時計回り）とする。例: 円板なら円 $|z|=R$、半円領域 $\{|z|<R,\mathrm{Re}z>0\}$ なら「円弧 $|z|=R,\mathrm{Re}z\ge 0$」と「虚軸上の線分 $z=iy(-R\le y\le R)$」をつないだ曲線。方程式を $F(z)=0$ の形にし、$F$ が $C$ とその内部で正則であることを確認する。

2. $F=f+g$ と分ける。$f$ には、$C$ 上で絶対値が最も大きくなりそうな項（主要項）を選ぶ。多項式で $C$ が $|z|=R$ なら、$|a_k{z}^k|=|a_k|R^k$ が他の項の絶対値の和より大きい項を選ぶ。例: $e^z=4z^2$ を $|z|<1$ で考えるなら $F=4z^2-e^z$ とし、$f=4z^2$、$g=-e^z$ とする。

3. $C$ 上で、$|g|$ は上から（$|g|\le \cdots$）、$|f|$ は下から（$|f|\ge \cdots$）評価する。どちらも三角不等式などを使う。そのうえで、$C$ のすべての点で $|g(z)|<|f(z)|$ が厳密に成り立つことを示す。境界が円弧と線分に分かれるときは、それぞれの部分で別々に示す。例: $|z|=1$ 上で $|-e^z|=e^{\mathrm{Re}z}\le e<4=|4z^2|$。

4. $f$ の、$C$ の内部にある零点を重複度込みで数える。この数が、$F=f+g$ の内部の零点（$F(z)=0$ の解）の個数になる。例: $f=a{z}^k(a\ne 0)$ なら $z=0$ が $k$ 重の零点なので $k$ 個。$f=4z^2$ なら 2 個（1 個ではない）。よって $e^z=4z^2$ は $|z|<1$ に重複度込みで 2 個の解をもつ。

5. 円環 $r<|z|<R$ の場合は、$|z|=R$ と $|z|=r$ のそれぞれで手順 2〜4 を行い、（$|z|<R$ の個数）$-$（$|z|<r$ の個数）を計算する。主要項は円ごとに選び直す。$|z|=r$ 上で厳密な不等式が成り立てば、その円の上に零点はないので、この引き算で正しく数えられる。

例題

よくある誤り

• $C$ 上で $|g|\le |f|$（等号を含む）しか確かめずに定理を使ってしまう誤り。正しくは、$C$ のすべての点で厳密に $|g|<|f|$ が必要である。例えば $|z|=1$ 上で $f=z,g=-1$ とすると、$|g|=|f|=1$ となる。実際 $f+g=z-1$ の零点 $z=1$ は $C$ 上にあり、内部の零点は 0 個で、$f$ の個数 1 と一致しない。

• 評価の向きを逆にして、不等式を示したつもりになる誤り。例えば $F=2z^2+4z+5$ を $|z|=1$ で考え、$f=4z$、$g=2z^2+5$ とする。このとき「$|g|\ge 5-2|z{|}^2=3<4=|f|$ だから $|g|<|f|$」としてはいけない。$|g|$ の下限が $|f|$ より小さくても、$|g|$ 自体が小さいことにはならない。正しくは、$|g|$ を上から評価して $|g|\le 2+5=7$ とする。実際 $z=1$ では $|g|=7>4$ なので、この分け方ではルーシェの定理は使えない。（解の公式で解くと $z=-1\pm \frac{\sqrt{6}}{2}i$ で $|z{|}^2=\frac{5}{2}>1$ なので、内部の解は 0 個である。誤った評価で出る「1 個」は誤り。）同じく $|f|$ も下から評価する。例えば $|z|=1$ 上では $|3z-1|\ge 3-1=2$ と評価し、$|3z-1|\le 4$ を使ってはいけない。

• 次数が最も高い項を機械的に主要項にしたり、円ごとに主要項を選び直さなかったりする誤り。例えば $z^5+5z^3+1$ を $|z|=2$ で考えると、$|z^5|=32$、$|5z^3|=40$ である。$f=z^5$ とすると $|g|=|5z^3+1|\le 41$ となり、$32$ より小さいとは言えない（$z=2i$ で $|g|=|1-40i|>32$）。正しくは主要項を $5z^3$ として $|z^5+1|\le 33<40$ を示し、$|z|<2$ の零点を 3 個と数える。一方 $|z|=3$ では主要項は $z^5$ で（$|5z^3+1|\le 136<243$）、$|z|<3$ の零点は 5 個である。したがって円環 $2<|z|<3$ にある零点は $5-3=2$ 個になる。

• 半円領域で、円弧の部分だけ不等式を確かめて線分の部分を忘れる誤り。例えば $D=\{|z|<4,\mathrm{Re}z>0\}$ で $F=z-\frac{1}{2}+e^{-z}$ を $f=z-\frac{1}{2}$、$g=e^{-z}$ と分けたとする。円弧上では $|f|\ge 4-\frac{1}{2}>1\ge |g|$ が成り立つ。しかし線分上の $z=0$ では $|f|=\frac{1}{2}<1=|g|$ となり、不等式が成り立たない。正しくは、境界のすべての部分（円弧と線分の両方）で厳密な不等式を示す。どこか一部分でも成り立たなければ、この分け方では定理を使えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  多項式 $$p(z)=z^6-5z^4+2z-1$$ について、開円板 $|z|<1$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  多項式
  $$p(z)=2z^5-9z^3+3z-1$$
  について、開円板 $|z|<1$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  多項式 $$p(z)=z^5-12z^2+3z+1$$ について、開円板 $|z|<2$ に含まれる $p$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とし、
  $$g(z)=\frac{(z^5+7z^2+1)e^z}{z^3(2z-1{)}^2}$$
  とおく。次の複素積分の値を求めよ。
  $${\oint }_C\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz$$

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  複素平面上の円 $C:|z|=1$ を反時計回りに 1 周する積分路とし、
  $$f(z)=\frac{z^7-5z^3+1}{(2z-1{)}^2(z-3)}$$
  とおく。次の複素積分の値を求めよ。
  $${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz$$

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  多項式
  $$f(z)=z^7-6z^3+2z+1$$
  について、円環領域 $1<|z|<2$ に含まれる $f$ の零点の個数を、重複度を込めて求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  複素数 $z$ についての方程式
  $$e^z=4z^3$$
  の解のうち、開円板 $|z|<1$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

• 難易度 3（期末試験の応用レベル）

  $n$ を $3$ 以上の整数とし、複素多項式
  $$p(z)=z^n-3z+1$$
  を考える。$p$ の零点（重複度を込めて数える）のうち、開円板 $|z|<1$ に含まれるものはちょうど $1$ 個であり、それは開区間 $(0,1)$ に属する実数であること、さらに残りの $n-1$ 個の零点はすべて円環 $1<|z|<2$ に含まれることを証明せよ。

  ただし、次のルーシェの定理と代数学の基本定理は用いてよい。

  （ルーシェの定理）$f,g$ が閉円板 $|z|\le r$ を含む領域で正則で、円周 $|z|=r$ 上のすべての点で $|g(z)|<|f(z)|$ が成り立つならば、$f$ と $f+g$ の開円板 $|z|<r$ 内の零点の個数（重複度込み）は等しい。

• 難易度 4（大学院入試の標準レベル）

  複素数 $z$ についての方程式
  $$e^z=4z^2$$
  の解のうち、実部が負であるもの（$\mathrm{Re}z<0$ をみたすもの）の個数を、重複度を込めて求めよ。