偏角の原理

$\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f ^{'} ( z )}{f ( z )} d z = (零点の数) - (極の数)$ を使い、閉曲線に沿った $ar g f (z)$ の変化量を虚軸上などで追跡して、右半平面にある多項式の零点の個数を重複度込みで求められる

前提

留数定理による複素積分（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

偏角の原理を使うと、関数の零点や極の個数を、閉曲線上での $f (z)$ の値の動きだけから数えられます。零点の位置を具体的に求める必要はありません。特に実係数の多項式について、右半平面 $Re z > 0$ にある零点の個数（重複度込み）を、虚軸上の値 $f (i y)$ の偏角の変化を追うことで求められます。これは、微分方程式や制御の安定性判定（すべての根の実部が負かどうか）でよく使われます。

なぜそうしてよいのか

$f$ が閉曲線 $C$ の内部で、有限個の極を除いて正則であり、 $C$ 上に零点も極もないとします。 $a$ が $m$ 位の零点なら $f (z) = (z - a)^{m} g (z)$ （ $g$ は $a$ の近くで正則で $g (a) \neq = 0$ ）と書けます。このとき $\frac{f ^{'} ( z )}{f ( z )} = \frac{m}{z - a} + \frac{g ^{'} ( z )}{g ( z )}$ となり、第 2 項は $a$ の近くで正則です。よって $\frac{f ^{'}}{f}$ の $a$ での留数は $m$ です。 $b$ が $p$ 位の極なら $f (z) = (z - b)^{- p} h (z)$ と書けるので、同じ計算で留数は $- p$ になります。留数定理より $\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f ^{'} ( z )}{f ( z )} d z = N - P$ が成り立ちます。ここで $N$ は内部の零点の個数、 $P$ は内部の極の個数で、どちらも重複度込みで数えます。

一方、 $C$ に沿って対数の分枝を連続につないでいくと $\frac{f ^{'}}{f} d z = d (lo g f) = d (lo g ∣ f ∣) + i d (ar g f)$ です。一周すると $lo g ∣ f ∣$ は元の値に戻るので、積分の値は $\frac{1}{2 π} \times (C$ を一周したときの $ar g f$ の連続的な変化量 $)$ になります。つまり、 $f (z)$ の像が原点のまわりを何周するかが $N - P$ を表します。多項式には極がないので、この値がそのまま零点の個数です。

右半平面の零点を数えるには、次の閉曲線 $C_{R}$ を使います。まず半円 $∣ z ∣ = R, Re z \geq 0$ を $- i R$ から $R$ を通って $i R$ まで反時計回りに進み、次に虚軸上を $i R$ から $- i R$ へ下向きに戻ります。 $R$ を十分大きくとれば、右半平面の零点はすべて内部に入ります。 $n$ 次多項式 $f (z) = a_{n} z^{n} (1 + h (z))$ では、 $∣ z ∣ = R \to \infty$ のとき $h (z) \to 0$ です。そのため半円上での偏角の変化は $z^{n}$ の変化量 $nπ$ に近づきます。虚軸部分を下向きにたどったときの変化は、 $y$ を $- \infty$ から $\infty$ へ動かしたときの $ar g f (i y)$ の変化量 $Δ$ の符号を反対にしたものです。 $N$ は整数で $R$ によらないので、極限をとって $N = \frac{nπ - Δ}{2 π} = \frac{n}{2} - \frac{Δ}{2 π}$ が得られます。

手順

虚軸上に零点がないことを確かめる。 $f (i y) = u (y) + i v (y)$ （ $u, v$ は実数値）と分けて、 $u (y) = 0$ と $v (y) = 0$ を同時に満たす実数 $y$ がないことを確認する（ある場合はこの方法は使えない）。
$u (y) = 0$ となる $y$ と $v (y) = 0$ となる $y$ を求め、それらで区切った区間ごとに $u, v$ の符号の表を作る。符号の組から、 $f (i y)$ がどの象限・どの軸上にあるかがわかる。
$y \to \pm \infty$ での向きを調べる。 $f (i y) \approx a_{n} (i y)^{n}$ から、偏角の極限がわかる。
表に従って $ar g f (i y)$ を連続的につなぎ、 $y$ が $- \infty$ から $\infty$ まで動くときの変化量 $Δ$ を求める。実係数なら $f (- i y) = f (i y)$ なので、 $0 \to \infty$ での変化量を 2 倍すればよい。
公式 $N = \frac{n}{2} - \frac{Δ}{2 π}$ （ $n$ は次数）に代入し、右半平面の零点の個数 $N$ を得る。

例題

多項式 $f (z) = z^{3} + z^{2} + z + 3$ の零点のうち、右半平面 $Re z > 0$ にあるものの個数を、重複度込みで求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f (i y) = - i y^{3} - y^{2} + i y + 3$ なので $u (y) = 3 - y^{2}$ 、 $v (y) = y (1 - y^{2})$ である。 $u = 0$ となるのは $y = \pm 3$ のときだけで、そのとき $v = \pm 3 (1 - 3) \neq = 0$ である。したがって虚軸上に零点はない。
【手順 2】実係数なので $y \geq 0$ だけを調べればよい。 $v = 0$ となるのは $y = 0, 1$ 、 $u = 0$ となるのは $y = 3$ である。
・ $y = 0$ ： $f = 3$ （正の実軸上、偏角 $0$ ）
・ $0 < y < 1$ ： $u > 0, v > 0$ （第 1 象限）
・ $y = 1$ ： $f = 2$ （正の実軸上）
・ $1 < y < 3$ ： $u > 0, v < 0$ （第 4 象限）
・ $y = 3$ ： $u = 0, v < 0$ （負の虚軸上）
・ $y > 3$ ： $u < 0, v < 0$ （第 3 象限）
【手順 3】 $y \to \infty$ のとき $f (i y) \approx (i y)^{3} = - i y^{3}$ なので、偏角は $- \frac{π}{2}$ に近づく。
【手順 4】偏角を $0$ から連続につなぐ。 $0 < y < 1$ では $(0, \frac{π}{2})$ の範囲に入り、 $y = 1$ で $0$ に戻る。 $1 < y < 3$ では $(- \frac{π}{2}, 0)$ の範囲にあり、 $y = 3$ で $- \frac{π}{2}$ になる。その後 $(- π, - \frac{π}{2})$ の範囲を動き、 $- \frac{π}{2}$ に近づく。よって $y$ が $0$ から $\infty$ まで動くときの変化量は $- \frac{π}{2}$ である。 $f (- i y) = f (i y)$ より、 $- \infty$ から $0$ までの変化量も $- \frac{π}{2}$ となる。したがって $Δ = - π$ である。
【手順 5】 $n = 3$ なので $N = \frac{3}{2} - \frac{- π}{2 π} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ となる。
（確認： $f (- 1) = 2 > 0$ 、 $f (- 2) = - 3 < 0$ より、実数の零点 $r$ は $- 2 < r < - 1$ にある。根の和は $- 1$ なので、残りの共役な 2 根の実部は $\frac{- 1 - r}{2} > 0$ となり、結果と合う。）
答えは $2$ 個である。

答え: $2$

よくある誤り

虚軸を上向きにたどると考えて $N = \frac{n}{2} + \frac{Δ}{2 π}$ としてしまう誤り。正しくは、閉曲線を正の向き（反時計回り）に回ると虚軸は $i R$ から $- i R$ へ下向きにたどるので、 $N = \frac{n}{2} - \frac{Δ}{2 π}$ である。例えば $f (z) = z - 1$ では $f (i y) = - 1 + i y$ で $Δ = - π$ となり、正しく $N = 1$ が得られる。
大きな半円の寄与を忘れて $N = - \frac{Δ}{2 π}$ としてしまう誤り。正しくは、半円上で偏角が $nπ$ だけ増えるので、その分の $\frac{n}{2}$ を必ず加える。
偏角を始点と終点の値だけで決めてしまう誤り。両端の値からは変化量が $2 π$ の整数倍だけずれた値しかわからない。正しくは、 $u, v$ の符号の表を使って途中の象限の移り変わりを追い、連続的な変化量を求める。例題では一度第 1 象限に出て $0$ に戻る動きを追う必要がある。
虚軸上に零点があるのに、そのまま公式を使ってしまう誤り。例えば $f (z) = z^{2} + 1$ は $f (\pm i) = 0$ で、 $f (i y) = 1 - y^{2}$ の偏角は $y = \pm 1$ で定義されない。正しくは、最初に $u (y) = v (y) = 0$ となる $y$ がないことを確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ルーシェの定理（大学数学複素関数）
レベル 1 のモジュラー形式の空間の次元（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）
ベクトル場の零点の指数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
SSH 模型と巻き付き数（大学院物理多体系の量子論・物性理論）