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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

多項式 $f (z) = z^{3} + 2 z^{2} + z + 8$ の零点のうち、右半平面 ${z \in C ∣ Re z > 0}$ に含まれるものの個数を、重複度を込めて求めよ。

この問題で使うもの

偏角の原理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（69 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

偏角の原理を使います。右半平面を、虚軸と右側の大きな半円でできた閉曲線で囲み、その上で $ar g f (z)$ が何回分増えるかを数えましょう。

ヒント 2

大きな半円上では $f (z) \approx z^{3}$ なので偏角は $3 π$ 増えます。虚軸上では $f (i y) = (8 - 2 y^{2}) + i (y - y^{3})$ の実部・虚部の符号の変化を追いましょう。

ヒント 3

$y$ を $- \infty$ から $+ \infty$ へ動かすと、 $f (i y)$ の偏角は $\frac{π}{2}$ から $- \frac{π}{2}$ へ、原点を回り込まずに変化します。閉曲線では虚軸を逆向きにたどることに注意して、半円の分と合計しましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

方針偏角の原理によると、正則関数 $f$ が閉曲線 $C$ 上で $0$ にならないとき
$\frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f ^{'} ( z )}{f ( z )} d z = \frac{1}{2 π} Δ_{C} ar g f (z) = (C の内部の零点の数) - (極の数)$
が成り立つ。多項式には極がないので、右辺は零点の数（重複度込み）になる。

$R$ を十分大きくとり、 $C_{R}$ を次の 2 つをつないだ閉曲線とする（反時計回り）。
- 半円 $Γ_{R} : z = R e^{i θ} (- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2})$
- 虚軸上の線分： $z = i y$ で $y$ を $R$ から $- R$ まで動かす

$R \to \infty$ とすれば、 $C_{R}$ の内部の零点の数が右半平面の零点の数になる。

虚軸上に零点がないことの確認 $z = i y$ （ $y$ は実数）とおくと、 $(i y)^{2} = - y^{2}$ ， $(i y)^{3} = - i y^{3}$ より
$f (i y) = (8 - 2 y^{2}) + i (y - y^{3}) .$
実部が $0$ になるのは $y = \pm 2$ 、虚部が $0$ になるのは $y = 0, \pm 1$ であり、同時に $0$ にはならない。よって虚軸上に零点はなく、偏角の原理が使える。

(1) 半円 $Γ_{R}$ 上での偏角の変化
$f (z) = z^{3} (1 + \frac{2}{z} + \frac{1}{z ^{2}} + \frac{8}{z ^{3}})$
で、 $∣ z ∣ = R \to \infty$ のとき括弧の中は一様に $1$ に近づくので、その偏角の変化は $0$ に近づく。 $z^{3} = R^{3} e^{3 i θ}$ の偏角は $θ$ が $- \frac{π}{2}$ から $\frac{π}{2}$ まで動くとき $3 \times π = 3 π$ 増える。よって $Γ_{R}$ 上の偏角の変化は $3 π$ に近づく。

(2) 虚軸上での偏角の変化 まず $y$ を $- \infty$ から $+ \infty$ へ動かしたときの $w = f (i y)$ の動きを、実部 $8 - 2 y^{2}$ と虚部 $y - y^{3} = y (1 - y) (1 + y)$ の符号で追う。

$y$	$- \infty$	$\dots$	$- 2$	$\dots$	$- 1$	$\dots$	$0$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$	$+ \infty$
実部		$-$	$0$	$+$	$6$	$+$	$8$	$+$	$6$	$+$	$0$	$-$
虚部		$+$	$6$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$- 6$	$-$
偏角	$\frac{π}{2}$		$\frac{π}{2}$		$0$		$0$		$0$		$- \frac{π}{2}$		$- \frac{π}{2}$

$y \to \pm \infty$ では $f (i y) \approx - i y^{3}$ が支配的なので、 $y \to - \infty$ で偏角は $\frac{π}{2}$ 、 $y \to + \infty$ で $- \frac{π}{2}$ に近づく。表より、 $w$ は第 2 象限 → 正の虚軸 → 第 1 象限 → 正の実軸 → 第 4 象限 → 正の実軸 → 第 1 象限 → 正の実軸 → 第 4 象限 → 負の虚軸 → 第 3 象限と進み、原点のまわりを回り込むことはない。したがって $y$ が $- \infty$ から $+ \infty$ まで動くときの偏角の変化は
$- \frac{π}{2} - \frac{π}{2} = - π .$
$C_{R}$ では虚軸を $y = + \infty$ から $- \infty$ の向きに進むので、偏角の変化は $+ π$ である。

(3) まとめ 1 周での偏角の変化は $3 π + π = 4 π$ 。偏角の原理より、右半平面の零点の個数は
$\frac{4 π}{2 π} = 2.$

（確認： $f (- 3) = - 4 < 0$ ， $f (- 2) = 6 > 0$ より負の実数解が 1 つあり、解の和が $- 2$ なので、残りの共役な 2 つの虚数解の実部は正になり、結果と合う。）

答え： $2$ 個

別解

ラウス・フルビッツの判定法を使う。

まず、虚軸上に零点がないか確かめる。 $z = i y$ を代入すると $f (i y) = (8 - 2 y^{2}) + i (y - y^{3})$ となる。実部が 0 になるのは $y = \pm 2$ 、虚部が 0 になるのは $y = 0, \pm 1$ であり、共通の $y$ はない。よって虚軸上に零点はない。

ラウス数列を作る。
- 1行目: $1, 1$
- 2行目: $2, 8$
- 3行目: $(2 \cdot 1 - 1 \cdot 8) /2 = - 3$
- 4行目: $8$

第1列は $1, 2, - 3, 8$ で、符号変化は 2 回。したがって右半平面の零点は 2 個である。

検算として、 $f (- 3) = - 4 < 0$ 、 $f (- 2) = 6 > 0$ なので、 $- 3$ と $- 2$ の間に実根 $r$ がある。3 次式の根と係数の関係より、残り 2 根の和は $- 2 - r$ である。 $r < - 2$ だから、この和は正になる。この 2 根は共役複素数（実根ならさらに実根が 3 個になり $f$ の形と合わない）で、実部の和が正なので実部は正となる。これはラウス数列の結果と一致する。

答えは 2 個。

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