複素関数の問題

方針（偏角の原理） $f$ は多項式なので極をもちません。よって、閉曲線 $C$ 上に零点がなければ
$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi }{\Delta }_C\arg f(z)=(C\text{ の内部の零点の個数})$$
が成り立ちます。ここで ${\Delta }_C\arg f(z)$ は、$C$ を 1 周したときの $\arg f(z)$ の変化量です。

積分路 $R>0$ を十分大きくとります。次の 2 つをつないで、反時計回りの閉曲線 $C_R$ をつくります。
- 半円 ${\Gamma }_R$：$z=R{e}^{i\theta }$（$\theta$ は $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで）
- 虚軸上の線分 $L_R$：$z=iy$（$y$ は $R$ から $-R$ まで）

$R$ が十分大きければ、右半平面にある零点はすべて $C_R$ の内部に入ります。

虚軸上に零点がないことの確認 $z=iy$（$y$ は実数）を代入すると
$$f(iy)=-i{y}^3-y^2-iy+2=(2-y^2)-iy(y^2+1)$$
となります。これが $0$ になるには $2-y^2=0$ かつ $y(y^2+1)=0$ が必要です。後者から $y=0$ ですが、そのとき $2-y^2=2\ne 0$ なので、両方は同時に成り立ちません。よって $C_R$ 上に零点はありません（半円上にないことは $R$ を大きくとることで保証されます）。

(1) 半円 ${\Gamma }_R$ 上での変化
$$f(z)=z^3\left(1+\frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}\right)$$
と書けます。$|z|=R\to \infty$ のとき括弧の中は $1$ に近づくので、その偏角の変化は $0$ に近づきます。$z^3$ の偏角は $3\theta$ なので、$\theta$ が $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで動くと $3\pi$ 変化します。よって
$${\Delta }_{{\Gamma }_R}\arg f\to 3\pi (R\to \infty ).$$

(2) 虚軸 $L_R$ 上での変化 実部 $u(y)=2-y^2$、虚部 $v(y)=-y(y^2+1)$ の符号を、$y$ を $R$ から $-R$ へ動かしながら追います。
- $y$ が大きい正の数のとき：$u<0,v<0$。$|v|$ が $|u|$ より圧倒的に大きいので、$f(iy)$ は第 3 象限にあり、偏角は $-\frac{\pi }{2}$ に近い値です。
- $y=\sqrt{2}$：$u=0,v<0$ なので、負の虚軸上にあります（偏角 $-\frac{\pi }{2}$）。
- $0<y<\sqrt{2}$：$u>0,v<0$ なので第 4 象限にあります。
- $y=0$：$f(0)=2$ なので、正の実軸上にあります（偏角 $0$）。
- $-\sqrt{2}<y<0$：$u>0,v>0$ なので第 1 象限にあります。
- $y=-\sqrt{2}$：$u=0,v>0$ なので、正の虚軸上にあります（偏角 $\frac{\pi }{2}$）。
- $y$ が絶対値の大きい負の数のとき：$u<0,v>0$ で第 2 象限にあり、偏角は $\frac{\pi }{2}$ に近い値です。

つまり $f(iy)$ は、原点のまわりを第 3 象限 → 第 4 象限 → 第 1 象限 → 第 2 象限と、反時計回りに進みます。偏角は $-\frac{\pi }{2}$ 付近から $\frac{\pi }{2}$ 付近まで変化するので
$${\Delta }_{L_R}\arg f\to \frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\pi (R\to \infty ).$$

(3) 合計 偏角の変化量は $2\pi$ の整数倍なので、$R$ が十分大きいとき
$${\Delta }_{C_R}\arg f=3\pi +\pi =4\pi .$$
よって、右半平面にある零点の個数は
$$\frac{4\pi }{2\pi }=2$$
です。

確認 $f(-2)=-8+4+2+2=0$ なので、因数定理より
$$f(z)=(z+2)(z^2-z+1)$$
と因数分解できます。$z^2-z+1=0$ の解は $z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ で、実部はどちらも $\frac{1}{2}>0$ です。残りの零点 $-2$ は左半平面にあります。したがって右半平面の零点は 2 個で、偏角の原理による結果と一致します。

答え：$2$ 個

$z=-2$ を代入すると $f(-2)=-8+4+2+2=0$ となるので、$f(z)=(z+2)(z^2-z+1)$ と因数分解できる。

偏角の原理による計算
虚軸上 $z=iy$ では
$$f(iy)=(2-y^2)-i(y^3+y)$$
となる。虚部 $-(y^3+y)$ は $y=0$ のときだけ $0$ になり、そのとき $f=2$ である。したがって虚軸上に零点はない。

$y$ を $-\infty$ から $+\infty$ へ動かしたときの $\arg f(iy)$ の変化を調べる。
- $y\to -\infty$ では $f\sim -i{y}^3$ であり、偏角は $\pi /2$ に近づく。このとき実部は負で虚部は正なので、第2象限にある。
- $-\infty <y<-\sqrt{2}$ では第2象限にある。
- $y=-\sqrt{2}$ では $f=3\sqrt{2}i$ となり、偏角は $\pi /2$ である。
- $-\sqrt{2}<y<0$ では第1象限にあり、$y=0$ で $f=2$ となって偏角は $0$ である。
- $0<y<\sqrt{2}$ では第4象限にある。
- $y=\sqrt{2}$ では $f=-3\sqrt{2}i$ となり、偏角は $-\pi /2$ である。
- $y>\sqrt{2}$ では第3象限にあり、$y\to \infty$ で偏角は $-\pi /2$ に近づく。

以上より、虚軸を下から上へたどったときの偏角の変化は $-\pi /2-\pi /2=-\pi$ である。

右半平面を囲む反時計回りの閉曲線（半径 $R$ の半円と虚軸）を考える。この曲線では虚軸を上から下へたどるので、虚軸部分での変化は $+\pi$ である。

大きな半円上では $f\sim z^3$ なので、偏角は $3\pi$ だけ変化する。

全変化は $\pi +3\pi =4\pi$ である。偏角の原理より、右半平面内の零点の個数は $4\pi /2\pi =2$ となる。

検算
$z^2-z+1=0$ の解は $z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ で、実部は $1/2>0$ である。もう一つの零点 $z=-2$ は左半平面にある。よって右半平面の零点は重複度込みで2個であり、偏角の原理の結果と一致する。