孤立特異点の分類

ローラン展開の主要部や $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z)$ を調べて、孤立特異点が除去可能特異点・ $m$ 位の極・真性特異点のどれかを判定し、極の位数を求められる

前提

ローラン展開（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）

説明

関数 $f$ が点 $a$ のまわりの穴あき円板 $0 < ∣ z - a ∣ < R$ では正則でも、 $z = a$ そのものでは定義されないことがあります。このような点 $a$ を孤立特異点といいます。この技能では、 $a$ を中心とするローラン展開の負べきの部分（主要部）か、極限 $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z)$ を調べて、 $a$ が除去可能特異点・ $m$ 位の極・真性特異点のどれかを判定します。極なら位数 $m$ も求めます。留数の計算や、特異点の近くでの関数のふるまいを調べるときの出発点になる技能です。

なぜそうしてよいのか

$a$ が $f$ の孤立特異点なら、 $f$ は穴あき円板 $0 < ∣ z - a ∣ < R$ で $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - a)^{n}$ とローラン展開できます。負べきの項だけを集めた $\sum_{n < 0} a_{n} (z - a)^{n}$ を主要部と呼びます。 $z \to a$ で暴れるのはこの主要部だけで、残りの $\sum_{n \geq 0} a_{n} (z - a)^{n}$ はふつうのべき級数なので $a_{0}$ に収束します。そこで、主要部の形で次のように分類します。(1) 主要部がない（ $n < 0$ の係数がすべて $0$ ）とき、除去可能特異点といいます。 $f (z) \to a_{0}$ となり、 $f (a) = a_{0}$ と定めれば $a$ でも正則になります。(2) 主要部が有限個の項からなり、残っている最も低い次数が $- m$ （ $m \geq 1$ 、 $a_{- m} \neq = 0$ ）のとき、 $m$ 位の極といいます。 $∣ f (z) ∣$ は $∣ a_{- m} ∣/∣ z - a ∣^{m}$ のような速さで $\infty$ に発散します。(3) 主要部が無限個の項をもつとき、真性特異点といいます。たとえば $e^{1/ z} = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{k ! z ^{k}}$ の $z = 0$ がそうです。 $z$ が正の実数のまま $0$ に近づくと $e^{1/ z} \to \infty$ 、負の実数のまま近づくと $e^{1/ z} \to 0$ となり、 $f$ は一定の値にも $\infty$ にも近づきません。

極限による判定は、展開に $(z - a)^{m}$ を掛けると分かります。 $m$ 位の極なら $(z - a)^{m} f (z) = a_{- m} + a_{- m + 1} (z - a) + \dots$ はべき級数になるので、 $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z) = a_{- m} \neq = 0$ です。逆向きには、リーマンの除去可能特異点定理（ $a$ の近くで有界な関数の孤立特異点 $a$ は除去可能）を使います。 $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z) = c$ が有限で $c \neq = 0$ なら、 $g (z) = (z - a)^{m} f (z)$ は $a$ の近くで有界です。よって $g$ の展開に負べきはなく、定数項は $c$ です。したがって $f = g / (z - a)^{m}$ の最低次の項は $c (z - a)^{- m}$ となり、 $m \geq 1$ なら $m$ 位の極、 $m = 0$ なら除去可能特異点です。つまり「有限で $0$ でない極限をとる $m$ 」がちょうど極の位数です。

手順

$a$ が孤立特異点であることを確かめる。ある $R > 0$ について、 $f$ が $0 < ∣ z - a ∣ < R$ で正則であることを見る。
$a$ を中心とする穴あき円板 $0 < ∣ z - a ∣ < R$ でのローラン展開を、既知のテイラー展開（ $e^{w}, sin w, cos w$ 、等比級数など）を使って求める。必要なのは低い次数の数項だけでよい。
負べきの項だけを取り出し、主要部 $\sum_{n < 0} a_{n} (z - a)^{n}$ を書く。
分類する。主要部がなければ除去可能特異点。有限個の項で、最低次が $a_{- m} (z - a)^{- m}$ （ $a_{- m} \neq = 0$ ）なら $m$ 位の極。無限個の項があれば真性特異点。
極のときは $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z) = a_{- m}$ が有限かつ $0$ でないことを確かめる。展開を使わずに、この極限が有限で $0$ でなくなる $m$ を探して位数を決めてもよい。

例題

$f (z) = \frac{1 - cos z}{z ^{5}}$ の孤立特異点 $z = 0$ は極である。その位数を求めよ。

例題の解答

手順1： $1 - cos z$ も $z^{5}$ も全平面で正則で、 $z^{5}$ は $z \neq = 0$ では $0$ にならない。よって $f$ は $0 < ∣ z ∣ < \infty$ で正則であり、 $z = 0$ は孤立特異点である。

手順2：すべての $z$ で $cos z = 1 - \frac{z ^{2}}{2 !} + \frac{z ^{4}}{4 !} - \frac{z ^{6}}{6 !} + \dots$ が成り立つ。したがって $1 - cos z = \frac{z ^{2}}{2} - \frac{z ^{4}}{24} + \frac{z ^{6}}{720} - \dots$ となり、 $0 < ∣ z ∣ < \infty$ で
$f (z) = \frac{1}{2 z ^{3}} - \frac{1}{24 z} + \frac{z}{720} - \dots$
である。

手順3：主要部は $\frac{1}{2 z ^{3}} - \frac{1}{24 z}$ である。

手順4：主要部は有限個の項からなる。最低次は $z^{- 3}$ で、係数は $a_{- 3} = \frac{1}{2} \neq = 0$ である。よって $z = 0$ は $3$ 位の極である。

手順5（確認）： $z^{3} f (z) = \frac{1 - c o s z}{z ^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{z ^{2}}{24} + \dots \to \frac{1}{2} \neq = 0$ となり、位数 $3$ と一致する。分母が $z^{5}$ でも、分子が $z^{2}$ の程度で $0$ に近づくので、位数は $5 - 2 = 3$ に下がる。

答え: $3$

よくある誤り

分母の次数だけを見て位数を決めてしまう誤り。 $\frac{1 - c o s z}{z ^{5}}$ を「 $5$ 位の極」とするのは誤りで、分子 $1 - cos z = \frac{z ^{2}}{2} - \dots$ の $z^{2}$ が打ち消すので、正しくは $3$ 位の極である。同じ理由で、 $\frac{s i n z}{z} = 1 - \frac{z ^{2}}{6} + \dots$ の $z = 0$ は極ではなく除去可能特異点である。
展開全体の項が無限個なら真性特異点だとしてしまう誤り。 $\frac{e ^{z}}{z ^{2}} = \frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{z} + \frac{1}{2} + \frac{z}{6} + \dots$ は正べきの項が無限個あるが、主要部は $\frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{z}$ の有限個なので、正しくは $2$ 位の極である。真性特異点になるのは、 $e^{1/ z}$ のように負べきの項が無限個あるときだけである。
$a$ を中心とする穴あき円板以外の円環で展開して判定してしまう誤り。 $\frac{1}{z ( z - 1 )}$ を $∣ z ∣ > 1$ で展開すると $\frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{z ^{3}} + \dots$ と負べきが無限個並ぶが、これは $z = 0$ の判定には使えない。 $0 < ∣ z ∣ < 1$ での展開 $- \frac{1}{z} - 1 - z - \dots$ を見れば、正しくは $z = 0$ は $1$ 位の極である。
$lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z)$ が $0$ になる $m$ を位数としてしまう誤り。 $f (z) = \frac{1}{z ^{2}}$ では $z^{3} f (z) = z \to 0$ となるが、位数は $3$ ではない。極限が $0$ なら $m$ は大きすぎ、 $\infty$ なら小さすぎる。正しくは、極限が有限かつ $0$ でない値になる $m$ （この例では $z^{2} f (z) = 1$ となる $m = 2$ ）が位数である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

留数の計算（大学数学複素関数）
ワイエルシュトラスの ℘ 関数と不変量 g₂, g₃ （大学院数学楕円関数・モジュラー形式）