複素関数の問題

方針 $z=0$ のまわり（$0<|z|<\infty$）での $f$ のローラン展開を求めます。主要部（負べきの項の部分）を調べ、0 でない係数をもつ最も高い負べきが $z^{-m}$ なら、$z=0$ は $m$ 位の極です。

ステップ 1：分子を展開する

$e^z$ のテイラー展開はすべての複素数 $z$ で
$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$$
です。$n=0,1$ の項 $1+z$ を引くと
$$e^z-1-z=\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=2}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$$
となります。

ステップ 2：$z^6$ で割ってローラン展開を得る

$0<|z|$ で各項を $z^6$ で割ると
$$f(z)=\sum _{n=2}^{\infty }\frac{z^{n-6}}{n!}=\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^2}+\frac{1}{120z}+\frac{1}{720}+\frac{z}{5040}+\cdots$$
となります。

ステップ 3：主要部を読む

主要部は
$$\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^2}+\frac{1}{120z}$$
です。これは有限個の項からなります。0 でない係数をもつ最も高い負べきは $z^{-4}$ で、その係数は $\frac{1}{2}\ne 0$ です。したがって $z=0$ は 4 位の極です。

確認（極限による判定）

ステップ 2 の展開を使うと
$$\underset{z\to 0}{\lim }{z}^{4}f(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\frac{z^2}{24}+\cdots \right)=\frac{1}{2}$$
となり、これは 0 でない有限の値です。よって位数は 4 で、上の結果と一致します。

以上より $m=4$ です。

$e^z-1-z={\sum }_{k=2}^{\infty }\frac{z^k}{k!}=\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots$ なので、分子は $z=0$ で 2 位の零点をもつ。分母 $z^6$ は 6 位の零点なので、$f(z)=\frac{1}{z^4}\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{6}+\cdots \right)$ となる。括弧内は $z=0$ で正則かつ値が $\frac{1}{2}\ne 0$ なので、$z=0$ は 4 位の極である。検算として、ローラン展開は $f(z)=\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{24z^2}+\cdots$ となり、最も低い次数の項は $z^{-4}$ である。よって $m=4$。