複素関数の問題

方針：$z=0$ のまわりで $f$ をローラン展開し、主要部（負べきの項）を調べます。負べきの項が有限個で、最も低いべきが $z^{-m}$（係数 $\ne 0$）なら、$z=0$ は $m$ 位の極です。

手順 1：分子をテイラー展開する

$\sin z$ のマクローリン展開は、すべての複素数 $z$ で
$$\sin z=z-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}-\frac{z^7}{5040}+\cdots$$
です。よって
$$\sin z-z=-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}-\frac{z^7}{5040}+\cdots$$
となります。

手順 2：$z^6$ で割ってローラン展開を得る

$0<|z|<\infty$ において
$$f(z)=\frac{\sin z-z}{z^6}=-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z}-\frac{z}{5040}+\cdots$$
です。

手順 3：主要部を読み取る

主要部は
$$-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z}$$
であり、負べきの項は有限個です。最も低いべきは $z^{-3}$ で、その係数は $-\frac{1}{6}\ne 0$ です。したがって $z=0$ は 3 位の極 です。

確認（極限による判定）：$m=3$ として
$$\underset{z\to 0}{\lim }{z}^{3}f(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin z-z}{z^3}=\underset{z\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}-\cdots \right)=-\frac{1}{6}$$
となります。この極限は有限で $0$ でないので、位数は $3$ であることが確かめられます。

参考までに、$m=2$ のときは $z^{2}f(z)=-\frac{1}{6z}+\cdots$ となって発散し、$m=4$ のときは $z^{4}f(z)\to 0$ となります。

分母が $z^6$ だからといって 6 位の極と考えるのは誤りです。分子が $z^3$ の因子を含むので、位数は $6-3=3$ に下がります。

答え：$3$

$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots$ より、$\sin z-z=-\frac{z^3}{6}+\frac{z^5}{120}-\cdots =z^3\left(-\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}-\cdots \right)$。したがって
$$f(z)=\frac{1}{z^3}\left(-\frac{1}{6}+\frac{z^2}{120}-\cdots \right)=-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z}-\cdots$$
となる。ローラン展開の主要部の最も負の次数は $z^{-3}$ で、その係数 $-\frac{1}{6}\ne 0$ である。よって $z=0$ は位数 3 の極である。
検算：$z^{3}f(z)=(\sin z-z)/z^3\to -1/6\ne 0$ （$z\to 0$）であり、$z^{2}f(z)$ は $z\to 0$ で発散する。よって位数は 3 である。