複素関数の問題

特異点の種類. $\sin z=z-\frac{z^3}{6}+\cdots$ は $z=0$ に $1$ 位の零点をもつので、分母 $z^2\sin z$ は $z=0$ に $3$ 位の零点をもつ。分子 $e^{2z}$ は $z=0$ で $1\ne 0$ だから、$f$ は $z=0$ に $3$ 位の極をもつ。

ローラン展開.
$$\sin z=z\left(1-\frac{z^2}{6}+\cdots \right)\text{より}\frac{1}{\sin z}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{z^2}{6}+\cdots \right).$$
（$\frac{1}{1-w}=1+w+\cdots$ で $w=\frac{z^2}{6}-\cdots$ とした。$z^2$ までで十分である。）
また
$$e^{2z}=1+2z+\frac{(2z{)}^2}{2}+\cdots =1+2z+2z^2+\cdots .$$
よって
$$f(z)=\frac{1}{z^3}(1+2z+2z^2+\cdots )\left(1+\frac{z^2}{6}+\cdots \right).$$

留数. 留数は $z^{-1}$ の係数、すなわち括弧の積における $z^2$ の係数である。
$$z^2\text{ の係数}=2\cdot 1+1\cdot \frac{1}{6}=\frac{13}{6}.$$
したがって
$${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)=\frac{13}{6}.$$

（別解: $3$ 位の極の公式 $\mathrm{Res}=\frac{1}{2!}{\lim }_{z\to 0}\frac{d^2}{d{z}^2}\{z^{3}f(z)\}$ で、$z^{3}f(z)=e^{2z}\cdot \frac{z}{\sin z}$ を $2$ 回微分しても同じ値になる。）

$\sin z=z\left(1-\frac{z^2}{6}+\cdots \right)$ なので $f(z)=\frac{e^{2z}}{z^3}\cdot \frac{1}{1-\frac{z^2}{6}+\cdots }=\frac{1}{z^3}{e}^{2z}\left(1+\frac{z^2}{6}+\cdots \right)$。$e^{2z}=1+2z+2z^2+\cdots$ なので $e^{2z}(1+\frac{z^2}{6}+\cdots )$ の $z^2$ の係数は $2+\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$。$f$ の $z^{-1}$ の係数、すなわち留数は $\frac{13}{6}$。