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複素関数の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学複素関数

複素関数
$f (z) = \frac{z ^{2} e ^{z}}{( z - 2 ) ^{2}}$
の $z = 2$ における留数 $Res_{z = 2} f (z)$ を求めよ。

この問題で使うもの

留数の計算（説明と入口の問題）
孤立特異点の分類（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（59 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$z = 2$ がどのような特異点か（何位の極か）を、分子 $z^{2} e^{z}$ の $z = 2$ での値から判断しましょう。

ヒント 2

$m$ 位の極の留数は $\frac{1}{( m - 1 )!} lim_{z \to a} \frac{d ^{m - 1}}{d z ^{m - 1}} ((z - a)^{m} f (z))$ で求められます。

ヒント 3

$z = 2$ は 2 位の極なので、留数は $\frac{d}{d z} (z^{2} e^{z})$ の $z = 2$ での値です。積の微分で $(z^{2} + 2 z) e^{z}$ を得たら $z = 2$ を代入しましょう。

答えと解説

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8 e^{2}

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解説を読む

$g (z) = z^{2} e^{z}$ とおくと $g$ は整関数で $g (2) = 4 e^{2} \neq = 0$ なので、 $f (z) = \frac{g ( z )}{( z - 2 ) ^{2}}$ は $z = 2$ で 2 位の極をもつ。

2 位の極の留数の公式より
$Res_{z = 2} f (z) = z \to 2 lim \frac{d}{d z} ((z - 2)^{2} f (z)) = g^{'} (2) .$
$g^{'} (z) = 2 z e^{z} + z^{2} e^{z} = (z^{2} + 2 z) e^{z}$ なので
$g^{'} (2) = (4 + 4) e^{2} = 8 e^{2} .$

（別解: $g (z) = g (2) + g^{'} (2) (z - 2) + \dots$ とテイラー展開すると $f (z) = \frac{g ( 2 )}{( z - 2 ) ^{2}} + \frac{g ^{'} ( 2 )}{z - 2} + \dots$ となり、 $(z - 2)^{- 1}$ の係数 $g^{'} (2)$ が留数である。）

よって $Res_{z = 2} f (z) = 8 e^{2}$ 。

別解

$z = 2$ は 2 位の極。 $Res_{z = 2} f = \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]_{z = 2} = [(2 z + z^{2}) e^{z}]_{z = 2} = (4 + 4) e^{2} = 8 e^{2}$ 。検算: $z = 2 + t$ として $z^{2} e^{z} = e^{2} (4 + 4 t + t^{2}) (1 + t + \dots)$ の $t$ の係数は $e^{2} (4 + 4) = 8 e^{2}$ 。

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