留数の計算

1 位の極では $lim_{z \to a} (z - a) f (z)$ や $\frac{p ( a )}{q ^{'} ( a )}$ 、 $m$ 位の極では $\frac{1}{( m - 1 )!} lim_{z \to a} \frac{d ^{m - 1}}{d z ^{m - 1}} {(z - a)^{m} f (z)}$ 、真性特異点や高位の極ではローラン展開の $(z - a)^{- 1}$ の係数として、 $Res_{z = a} f (z)$ を求められる

前提

孤立特異点の分類（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ローラン展開（大学数学複素関数）
孤立特異点の分類（大学数学複素関数）

説明

孤立特異点 $z = a$ における関数 $f (z)$ の留数 $Res_{z = a} f (z)$ を求める技能です。留数とは、 $a$ のまわりのローラン展開 $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n}$ に現れる $(z - a)^{- 1}$ の係数 $c_{- 1}$ のことです。 $a$ を一周する積分では、この係数だけが $2 π i c_{- 1}$ という値として残ります。そのため留数は、複素積分や実積分の計算で中心的な役割を果たします。ここでは、ローラン展開を全部書かずに $c_{- 1}$ だけを取り出す方法を、特異点の種類ごとに身につけます。

なぜそうしてよいのか

出発点は定義です。 $f$ が $0 < ∣ z - a ∣ < r$ で正則なとき、ローラン展開 $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n}$ の係数 $c_{- 1}$ を留数と呼びます。除去可能特異点ではローラン展開に負べきの項がないので、留数は $0$ です。真性特異点では負べきの項が無限に続くため、実際に展開して $c_{- 1}$ を読み取るのが基本になります。

$a$ が $m$ 位の極なら、展開は $f (z) = \frac{c _{- m}}{( z - a ) ^{m}} + \dots + \frac{c _{- 1}}{z - a} + c_{0} + c_{1} (z - a) + \dots$ の形です。両辺に $(z - a)^{m}$ を掛けた $g (z) = (z - a)^{m} f (z)$ は、 $g (z) = c_{- m} + c_{- m + 1} (z - a) + \dots + c_{- 1} (z - a)^{m - 1} + \dots$ という負べきのないべき級数になります。つまり $g$ は $a$ で正則に延長できます。求めたい $c_{- 1}$ は、 $g$ のテイラー展開における $(z - a)^{m - 1}$ の係数です。テイラー係数の公式から $c_{- 1} = \frac{g ^{(m - 1)} ( a )}{( m - 1 )!}$ が得られます。ただし $g$ は $z = a$ そのものでは式として定義されていないことが多いので、極限をとって $\frac{1}{( m - 1 )!} lim_{z \to a} \frac{d ^{m - 1}}{d z ^{m - 1}} {(z - a)^{m} f (z)}$ と書きます。この式は、実際の位数が $m$ 以下であっても正しい値を与えます。その場合は余分な負べきの係数が $0$ になるだけだからです。

$m = 1$ （1 位の極）の場合は $c_{- 1} = lim_{z \to a} (z - a) f (z)$ です。さらに $f = p / q$ で、 $p, q$ が $a$ で正則、 $q (a) = 0$ 、 $q^{'} (a) \neq = 0$ のときを考えます。 $q (a) = 0$ を使うと $(z - a) f (z) = \frac{p ( z )}{\frac{q ( z ) - q ( a )}{z - a}}$ と書けます。分母は微分係数の定義により $q^{'} (a) \neq = 0$ に近づくので、極限は $\frac{p ( a )}{q ^{'} ( a )}$ です。

手順

特異点 $z = a$ の種類と極の位数 $m$ を判定する（ $lim_{z \to a} (z - a)^{m} f (z)$ が $0$ でない有限値になる $m$ を探す、またはローラン展開の主要部を見る）。除去可能特異点なら留数は $0$ で終わり。
1 位の極なら $Res_{z = a} f = lim_{z \to a} (z - a) f (z)$ を計算する。 $f = p / q$ で $q (a) = 0, q^{'} (a) \neq = 0$ なら $Res_{z = a} f = \frac{p ( a )}{q ^{'} ( a )}$ を使う。
$m$ 位の極なら $g (z) = (z - a)^{m} f (z)$ を約分して簡単な形にし、 $g$ を $m - 1$ 回微分する。
微分した式で $z \to a$ の極限をとり、 $(m - 1)!$ で割る： $Res_{z = a} f = \frac{1}{( m - 1 )!} lim_{z \to a} g^{(m - 1)} (z)$ 。
真性特異点の場合や、位数が高くて微分が大変な場合は、既知の展開（ $e^{w}, sin w, \frac{1}{1 - w}$ など）を使って $f$ を $(z - a)$ のべきでローラン展開し、 $(z - a)^{- 1}$ の係数を読み取る。

例題

$f (z) = \frac{1}{z ^{2} ( z - 2 )}$ の $z = 0$ における留数 $Res_{z = 0} f (z)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $z^{2} f (z) = \frac{1}{z - 2}$ は $z \to 0$ で $- \frac{1}{2}$ に近づきます。これは $0$ でない有限値なので、 $z = 0$ は 2 位の極です（ $m = 2$ ）。
【手順 3】 $g (z) = z^{2} f (z) = \frac{1}{z - 2}$ とおきます。これを $m - 1 = 1$ 回微分すると $g^{'} (z) = - \frac{1}{( z - 2 ) ^{2}}$ です。
【手順 4】 $lim_{z \to 0} g^{'} (z) = - \frac{1}{4}$ を $(2 - 1)! = 1$ で割って、 $Res_{z = 0} f = - \frac{1}{4}$ を得ます。
（確認） $0 < ∣ z ∣ < 2$ で展開すると $\frac{1}{z - 2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z /2} = - \frac{1}{2} - \frac{z}{4} - \frac{z ^{2}}{8} - \dots$ です。これを $z^{2}$ で割ると $f (z) = - \frac{1}{2 z ^{2}} - \frac{1}{4 z} - \frac{1}{8} - \dots$ となり、 $z^{- 1}$ の係数はたしかに $- \frac{1}{4}$ です。

答え: $- \frac{1}{4}$

よくある誤り

$m$ 位の極の公式で $\frac{1}{( m - 1 )!}$ を忘れる誤り。例えば $f (z) = \frac{e ^{z}}{z ^{3}}$ の $z = 0$ （3 位の極）で $(e^{z})^{''} ∣_{z = 0} = 1$ をそのまま答えにしてしまう。正しくは $\frac{1}{2 !} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ （展開 $\frac{e ^{z}}{z ^{3}} = \frac{1}{z ^{3}} + \frac{1}{z ^{2}} + \frac{1}{2 z} + \dots$ とも一致）。
2 位以上の極に 1 位の極の公式 $\frac{p ( a )}{q ^{'} ( a )}$ を当てはめてしまう誤り。 $\frac{1}{z ^{2} ( z - 2 )}$ の $z = 0$ では $q (z) = z^{2} (z - 2)$ について $q^{'} (0) = 0$ となり、公式は使えない。正しくは、 $\frac{p ( a )}{q ^{'} ( a )}$ は $q (a) = 0$ かつ $q^{'} (a) \neq = 0$ のときだけ使い、そうでなければ位数を調べて $m$ 位の公式を使う。
真性特異点で、因子の一部の展開だけを見て係数を読んでしまう誤り。 $z^{2} e^{1/ z}$ の $z = 0$ で、 $e^{1/ z} = 1 + \frac{1}{z} + \dots$ の $\frac{1}{z}$ の係数 $1$ を答えてしまう。正しくは全体を展開して $z^{2} e^{1/ z} = \sum_{n \geq 0} \frac{z ^{2 - n}}{n !}$ とし、 $2 - n = - 1$ すなわち $n = 3$ の項の係数 $\frac{1}{3 !} = \frac{1}{6}$ を読む。
$a \neq = 0$ のときに $z$ のべきで展開して $z^{- 1}$ の係数を読んでしまう誤り。正しくは留数は $(z - a)^{- 1}$ の係数である。例えば $\frac{e ^{z}}{z - 1}$ の $z = 1$ での留数は $1$ ではない。 $e^{z} = e \cdot e^{z - 1}$ と書き直して $(z - 1)$ のべきで展開すれば $e$ となる（ $\frac{p ( 1 )}{q ^{'} ( 1 )} = \frac{e}{1} = e$ とも一致）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

留数定理による複素積分（大学数学複素関数）