複素関数の問題

$f(z)=\frac{z{e}^{i\pi z}}{z^2+2z+5}$ とおく。求める積分は ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x{e}^{i\pi x}}{x^2+2x+5}dx$ の虚部である。

極の位置. $z^2+2z+5=0$ を解くと $z=-1\pm 2i$。上半平面にある極は $z_0=-1+2i$ のみで、1 位の極である。

積分路. $R>\sqrt{5}$ として、実軸上の線分 $[-R,R]$ と上半円 ${\Gamma }_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \pi )$ をつないだ閉曲線を反時計回りにとる。留数定理より
$${\int }_{-R}^{R}f(x)dx+{\int }_{{\Gamma }_R}f(z)dz=2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z).$$

上半円上の積分. $g(z)=\frac{z}{z^2+2z+5}$ とおくと、$|z|=R$ 上で $|g(z)|\le \frac{R}{R^2-2R-5}\to 0(R\to \infty )$ である。よってジョルダンの補題により ${\int }_{{\Gamma }_R}g(z)e^{i\pi z}dz\to 0$ となる（$\pi >0$ なので、上半平面では $|e^{i\pi z}|=e^{-\pi \mathrm{Im}z}\le 1$）。

留数の計算. 1 位の極なので
$${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z)=\frac{z_0{e}^{i\pi z_0}}{2z_0+2}.$$
ここで $2z_0+2=4i$ であり、
$$e^{i\pi z_0}=e^{i\pi (-1+2i)}=e^{-i\pi }{e}^{-2\pi }=-e^{-2\pi }.$$
したがって
$${\mathrm{Res}}_{z=z_0}f(z)=\frac{(-1+2i)(-e^{-2\pi })}{4i}=\frac{(1-2i)e^{-2\pi }}{4i}.$$

積分の値. $R\to \infty$ とすると
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x{e}^{i\pi x}}{x^2+2x+5}dx=2\pi i\cdot \frac{(1-2i)e^{-2\pi }}{4i}=\frac{\pi }{2}(1-2i)e^{-2\pi }.$$
左辺は $\int \frac{x\cos \pi x}{x^2+2x+5}dx+i\int \frac{x\sin \pi x}{x^2+2x+5}dx$ なので、虚部を比べて
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin \pi x}{x^2+2x+5}dx=-\pi e^{-2\pi }.$$

検算. $x=t-1$ とおくと $\sin \pi x=-\sin \pi t$ である。被積分関数は $-\frac{t\sin \pi t}{t^2+4}+\frac{\sin \pi t}{t^2+4}$ となり、後者は奇関数なので積分は $0$ になる。前者には公式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{t\sin at}{t^2+b^2}dt=\pi e^{-ab}$（$a,b>0$）が使え、$a=\pi ,b=2$ として $-\pi e^{-2\pi }$ を得る。結果は一致する。

答え: $-\pi e^{-2\pi }$

$I=\mathrm{Im}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x{e}^{i\pi x}}{x^2+2x+5}dx$ とおく（分母は実数なので、$\sin$ の積分は虚部に一致する）。分母の零点は $z=-1\pm 2i$ で、上半平面の極は $z_0=-1+2i$ のみ。

$\pi >0$ なので、上半円周上の積分は半径を大きくすると 0 に近づく（ジョルダンの補題）。よって留数定理から

$\int =2\pi i{\mathrm{Res}}_{z_0}$ となる。

留数は
$\mathrm{Res}=\frac{z_0{e}^{i\pi z_0}}{z_0-\overline{z_0}}=\frac{z_0{e}^{-i\pi }{e}^{-2\pi }}{4i}=-\frac{z_0{e}^{-2\pi }}{4i}$。

したがって
$\int =2\pi i\cdot \left(-\frac{z_0{e}^{-2\pi }}{4i}\right)=-\frac{\pi }{2}(-1+2i)e^{-2\pi }=\frac{\pi }{2}{e}^{-2\pi }(1-2i)$。

虚部をとると $I=-\pi e^{-2\pi }$。

検算: $u=x+1$ とおくと、積分は $\int \frac{(u-1)\sin (\pi u-\pi )}{u^2+4}du=-\int \frac{u\sin \pi u}{u^2+4}du+\int \frac{\sin \pi u}{u^2+4}du$。第2項は奇関数の積分なので 0。公式 $\int \frac{u\sin au}{u^2+b^2}du=\pi e^{-ab}$ より $-\pi e^{-2\pi }$。一致する。