複素関数の問題

方針　$f(z)=\frac{1}{z^2-2z+5}$ とおき、上半平面の半円の積分路で留数定理を使います。分母は 2 次、分子は 0 次なので、$\mathrm{deg}Q\ge \mathrm{deg}P+2$ を満たします。

手順 1：特異点（極）を求める　$z^2-2z+5=0$ を解くと
$$z=1\pm \sqrt{1-5}=1\pm 2i$$
です。上半平面（$\mathrm{Im}z>0$）にあるのは $z=1+2i$ だけで、これは 1 位の極です。

手順 2：積分路をとる　$R>0$ を十分大きくとり、実軸上の線分 $[-R,R]$ と、上半平面の半円 $C_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \pi )$ をつないだ閉曲線を反時計回りにまわります。$R>\sqrt{5}$ のとき、その内部にある極は $z=1+2i$ だけなので、留数定理より
$${\int }_{-R}^{R}f(x)dx+{\int }_{C_R}f(z)dz=2\pi i{\mathrm{Res}}_{z=1+2i}f(z)$$
が成り立ちます。

手順 3：留数を計算する　$f=\frac{p}{q}$, $p(z)=1$, $q(z)=z^2-2z+5$ とすると、$q^{\prime }(z)=2z-2$ なので
$${\mathrm{Res}}_{z=1+2i}f(z)=\frac{p(1+2i)}{q^{\prime }(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)-2}=\frac{1}{4i}.$$

手順 4：大きな半円上の積分が $0$ に近づくことを示す　$|z|=R$ のとき、三角不等式より
$$|z^2-2z+5|\ge |z{|}^2-2|z|-5=R^2-2R-5$$
です（$R$ が十分大きく右辺が正のとき）。$C_R$ の長さは $\pi R$ なので
$$\left|{\int }_{C_R}f(z)dz\right|\le \frac{\pi R}{R^2-2R-5}⟶0(R\to \infty ).$$

手順 5：極限をとる　手順 2 の式で $R\to \infty$ とすると
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^2-2x+5}=2\pi i\cdot \frac{1}{4i}=\frac{\pi }{2}.$$

（確認：$x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4$ と平方完成すると、${\left[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{x-1}{2}\right]}_{-\infty }^{\infty }=\frac{1}{2}\cdot \pi =\frac{\pi }{2}$ となり一致します。）

よって答えは $\frac{\pi }{2}$ です。

$f(z)=\frac{1}{z^2-2z+5}$ とおく。分母は $(z-1{)}^2+4=(z-1-2i)(z-1+2i)$ なので、極は $z=1\pm 2i$ の単純極である。上半面の極は $z=1+2i$ のみ。

留数は ${\mathrm{Res}}_{z=1+2i}f=\frac{1}{(1+2i)-(1-2i)}=\frac{1}{4i}$。

上半円周 $|z|=R$ 上では $|f(z)|\le \frac{1}{R^2-2R-5}$ （$R$ が十分大きいとき）なので、半円上の積分は長さ $\pi R$ を掛けて $R\to \infty$ で 0 に収束する。

よって留数定理から ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{x^2-2x+5}=2\pi i\cdot \frac{1}{4i}=\frac{\pi }{2}$。

検算：${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x-1{)}^2+4}=\frac{1}{2}{\left[\arctan \frac{x-1}{2}\right]}_{-\infty }^{\infty }=\frac{1}{2}\cdot \pi =\frac{\pi }{2}$。一致する。