複素関数の問題

$f(z)=\frac{z^2}{(z^2+1)(z^2+9)}$ とおく。分母は 4 次、分子は 2 次なので、$\mathrm{deg}Q\ge \mathrm{deg}P+2$ を満たす。

積分路をとる。 $R>3$ とし、実軸上の線分 $[-R,R]$ と、上半平面の半円 $C_R:z=R{e}^{i\theta }(0\le \theta \le \pi )$ をつないだ閉曲線を正の向きに一周する積分路をとる。

特異点と留数。 $(z^2+1)(z^2+9)=0$ より $z=\pm i,\pm 3i$。これらはすべて 1 位の極で、上半平面にあるのは $z=i,3i$ である（$R>3$ のとき両方とも積分路の内部）。$z^2+1=(z-i)(z+i)$, $z^2+9=(z-3i)(z+3i)$ より
$${\mathrm{Res}}_{z=i}f=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=\frac{i^2}{2i(i^2+9)}=\frac{-1}{16i},$$
$${\mathrm{Res}}_{z=3i}f=\underset{z\to 3i}{\lim }(z-3i)f(z)=\frac{(3i{)}^2}{((3i{)}^2+1)\cdot 6i}=\frac{-9}{-48i}=\frac{3}{16i}.$$
和は $\frac{-1+3}{16i}=\frac{1}{8i}$。

留数定理。
$${\int }_{-R}^{R}f(x)dx+{\int }_{C_R}f(z)dz=2\pi i\cdot \frac{1}{8i}=\frac{\pi }{4}.$$

大きな半円上の積分の評価。 $|z|=R>3$ のとき $|z^2+1|\ge R^2-1$, $|z^2+9|\ge R^2-9$ なので
$$\left|{\int }_{C_R}f(z)dz\right|\le \frac{R^2}{(R^2-1)(R^2-9)}\cdot \pi R⟶0(R\to \infty ).$$
（分母は $R^4$ 程度、分子は $R^3$ 程度だから $0$ に近づく。）

極限をとる。 $R\to \infty$ として
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+9)}dx=\frac{\pi }{4}.$$

（検算：部分分数分解 $\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+9)}=-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{x^2+1}+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{x^2+9}$ より、$-\frac{\pi }{8}+\frac{9}{8}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}$ となり一致する。）

$f(z)=\frac{z^2}{(z^2+1)(z^2+9)}$ とおく。分母の次数は 4、分子の次数は 2 で、差は 2 以上なので、上半円の大円弧上の積分は半径 $R\to \infty$ で 0 に近づく。よって積分は上半平面の極 $z=i,3i$ での留数の和の $2\pi i$ 倍に等しい。

$z=i$ での留数: $\frac{z^2}{(z+i)(z^2+9)}{|}_{z=i}=\frac{-1}{2i\cdot 8}=-\frac{1}{16i}$。

$z=3i$ での留数: $\frac{z^2}{(z^2+1)(z+3i)}{|}_{z=3i}=\frac{-9}{(-8)(6i)}=\frac{9}{48i}=\frac{3}{16i}$。

留数の和は $\frac{2}{16i}=\frac{1}{8i}$。したがって積分 $=2\pi i\cdot \frac{1}{8i}=\frac{\pi }{4}$。

検算として部分分数分解を用いる。$\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+9)}=\frac{1}{8}\left(\frac{9}{x^2+9}-\frac{1}{x^2+1}\right)$ である。実際、通分すると $9(x^2+1)-(x^2+9)=8x^2$ となり一致する。

積分すると $\frac{1}{8}\left(9\cdot \frac{\pi }{3}-\pi \right)=\frac{1}{8}\cdot 2\pi =\frac{\pi }{4}$。一致する。