有理関数の広義積分（半円の積分路）

上半平面の半円の積分路をとり、大きな半円上の積分が $0$ に近づくことを評価して、 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x = 2 π i \sum_{Im a > 0} Res_{z = a} \frac{P}{Q}$ （ $de g Q \geq de g P + 2$ ）を使って広義積分の値を求められる

前提

留数定理による複素積分（大学数学複素関数）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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説明

実数の有理関数 $\frac{P ( x )}{Q ( x )}$ を $- \infty$ から $\infty$ まで積分した広義積分の値を、複素関数の留数を使って求める方法です。実軸上の線分と上半平面の大きな半円をつないだ閉曲線に留数定理を使い、半円の半径を大きくすると半円上の積分が $0$ に近づくことを示します。その結果、上半平面にある極の留数の和に $2 π i$ を掛けるだけで積分値が得られます。部分分数分解が面倒な場合や、分母が $x^{4} + 1$ のように実数の範囲で因数分解しにくい場合に特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$f (z) = \frac{P ( z )}{Q ( z )}$ （ $P, Q$ は多項式で、 $Q$ は実数の零点をもたず、 $n = de g Q \geq m + 2$ 、 $m = de g P$ ）とします。 $R > 0$ を $Q$ のどの零点の絶対値よりも大きくとり、実軸上の線分 $[- R, R]$ と、上半平面の半円 $Γ_{R} : z = R e^{i θ} (0 \leq θ \leq π)$ をつないだ閉曲線 $C_{R}$ （反時計回り）を考えます。 $C_{R}$ の内部にある特異点は、 $Q$ の零点のうち $Im a > 0$ のものすべてです。留数定理より $\int_{- R}^{R} f (x) d x + \int_{Γ_{R}} f (z) d z = 2 π i Im a > 0 \sum Res_{z = a} f$ が成り立ち、右辺は $R$ によりません。

次に半円上の積分を評価します。 $P (z) = p_{m} z^{m} + \dots$ 、 $Q (z) = q_{n} z^{n} + \dots$ と書くと、 $Q (z) = q_{n} z^{n} (1 + \frac{q _{n - 1}}{q _{n} z} + \dots + \frac{q _{0}}{q _{n} z ^{n}})$ の括弧内は $∣ z ∣ \to \infty$ で $1$ に近づくので、十分大きい $∣ z ∣$ では $∣ Q (z) ∣ \geq \frac{∣ q _{n} ∣}{2} ∣ z ∣^{n}$ です。同様に $∣ P (z) ∣ \leq 2∣ p_{m} ∣∣ z ∣^{m}$ となります。よって $∣ z ∣ = R$ で $∣ f (z) ∣ \leq K R^{m - n}$ （ $K = 4∣ p_{m} ∣/∣ q_{n} ∣$ ）となり、半円の長さは $π R$ なので $\int_{Γ_{R}} f (z) d z \leq π R \cdot K R^{m - n} = π K R^{m - n + 1} \leq \frac{π K}{R} \to 0 (R \to \infty)$ です。ここで $n \geq m + 2$ を使いました（ $n = m + 1$ だと $R^{0}$ が残り、 $0$ になりません）。

最後に、同じ評価から実軸上でも $∣ x ∣$ が大きいとき $∣ f (x) ∣ \leq K / x^{2}$ なので、広義積分 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ は（ $- \infty$ 側と $\infty$ 側を別々に極限をとっても）収束し、その値は $lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R} f (x) d x$ に等しくなります。以上をまとめると $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x = 2 π i Im a > 0 \sum Res_{z = a} \frac{P}{Q}$ が得られます。

手順

条件を確認する： $P, Q$ が多項式で、 $Q (x)$ が実数の零点をもたず、 $de g Q \geq de g P + 2$ であること。
$Q (z) = 0$ を解き、その解のうち虚部が正（ $Im a > 0$ ）のものだけを選ぶ。これが半円の内部に入る極である。
選んだ各極 $a$ で $f = \frac{P}{Q}$ の留数を計算する。1 位の極なら $Res_{z = a} f = \frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$ 、 $k$ 位の極なら $\frac{1}{( k - 1 )!} lim_{z \to a} \frac{d ^{k - 1}}{d z ^{k - 1}} [(z - a)^{k} f (z)]$ を使う。
留数の和に $2 π i$ を掛ける： $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{P ( x )}{Q ( x )} d x = 2 π i \sum_{Im a > 0} Res_{z = a} \frac{P}{Q}$ 。実関数の積分なので結果が実数になることを確かめる。

例題

広義積分 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + 4 )}$ の値を求めよ。

例題の解答

$f (z) = \frac{1}{( z ^{2} + 1 ) ( z ^{2} + 4 )}$ とおく。

【手順 1】分子は定数（次数 $0$ ）、分母は次数 $4$ で $4 \geq 0 + 2$ 。また $x$ が実数なら $(x^{2} + 1) (x^{2} + 4) \geq 4 > 0$ なので実数の零点はない。よって公式が使える（上半平面の半円の積分路で、半円上の積分は $R \to \infty$ で $0$ に近づく）。

【手順 2】 $(z^{2} + 1) (z^{2} + 4) = 0$ の解は $z = \pm i, \pm 2 i$ 。虚部が正のものは $z = i$ と $z = 2 i$ で、どちらも 1 位の極。

【手順 3】 $f (z) = \frac{1}{( z - i ) ( z + i ) ( z ^{2} + 4 )}$ と見て、
$Res_{z = i} f = z \to i lim \frac{1}{( z + i ) ( z ^{2} + 4 )} = \frac{1}{2 i \cdot 3} = \frac{1}{6 i} .$
同様に $f (z) = \frac{1}{( z ^{2} + 1 ) ( z - 2 i ) ( z + 2 i )}$ と見て、
$Res_{z = 2 i} f = z \to 2 i lim \frac{1}{( z ^{2} + 1 ) ( z + 2 i )} = \frac{1}{( - 3 ) \cdot 4 i} = - \frac{1}{12 i} .$

【手順 4】 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ( x ^{2} + 4 )} = 2 π i (\frac{1}{6 i} - \frac{1}{12 i}) = 2 π i \cdot \frac{1}{12 i} = \frac{π}{6} .$
実数になっている。（検算：部分分数分解 $\frac{1}{3} (\frac{1}{x ^{2} + 1} - \frac{1}{x ^{2} + 4})$ から $\frac{1}{3} (π - \frac{π}{2}) = \frac{π}{6}$ で一致する。）

答え: $\frac{π}{6}$

よくある誤り

下半平面の極の留数まで足してしまう誤り。例えば $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} + 1}$ で $z = i$ と $z = - i$ の留数 $\frac{1}{2 i} + (- \frac{1}{2 i}) = 0$ を足すと $0$ になってしまう。正しくは半円の内部にある $z = i$ だけを使い、 $2 π i \cdot \frac{1}{2 i} = π$ 。
次数の条件 $de g Q \geq de g P + 2$ を確かめずに使ってしまう誤り。例えば $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ （次数差 $1$ ）で上半平面の留数から $2 π i \cdot \frac{1}{2} = π i$ などとしたり、 $\int_{- R}^{R} = 0$ から値を $0$ としたりするのは誤り。正しくは $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = lim \frac{1}{2} lo g (1 + R^{2}) = \infty$ なので、この広義積分は発散する（半円上の積分も $0$ に近づかない）。
分母に実数の零点がある場合にも公式を当てはめてしまう誤り。例えば $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} - 1}$ は $x = \pm 1$ で被積分関数が発散し、半円の積分路の上に極がのるので、この公式は使えない。正しくは、まず $Q (x) \neq = 0$ （すべての実数 $x$ ）を確認する。
重複する極で 1 位の極の式 $\frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$ を使ってしまう誤り。例えば $f (z) = \frac{1}{( z ^{2} + 1 ) ^{2}}$ の $z = i$ は 2 位の極なので $Q^{'} (i) = 0$ となり使えない。正しくは $Res_{z = i} f = \frac{d}{d z} [(z + i)^{- 2}]_{z = i} = \frac{- 2}{( 2 i ) ^{3}} = \frac{1}{4 i}$ で、 $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = 2 π i \cdot \frac{1}{4 i} = \frac{π}{2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

分岐をもつ関数の積分（鍵穴型の積分路）（大学数学複素関数）