分岐をもつ関数の積分（鍵穴型の積分路）

$z^{a}$ や $lo g z$ の分枝を正の実軸に切れ目をとって定め、鍵穴型の積分路で切れ目の上下の値の差を使って、 $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{a}}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$ や $lo g x$ を含む広義積分の値を求められる

前提

有理関数の広義積分（半円の積分路）（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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広義積分（大学数学微分積分）
有理関数の広義積分（半円の積分路）（大学数学複素関数）

説明

$\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{a}}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$ のように、被積分関数に $x^{a}$ （ $a$ は整数でない実数）や $lo g x$ が掛かった $0$ から $\infty$ までの広義積分を、留数定理で求める方法です。このような被積分関数は負の実軸側へ自然に延ばせないので、半円の積分路はそのままでは使えません。そこで、正の実軸に切れ目を入れて $z^{a}$ や $lo g z$ の分枝を 1 つ定めます。そして、切れ目を上下からなぞる「鍵穴型」の積分路を使います。

なぜそうしてよいのか

$C ∖ [0, \infty)$ の点 $z$ について、偏角を $0 < ar g z < 2 π$ の範囲にとって $lo g z = lo g ∣ z ∣ + i ar g z$ と定めます。さらに $z^{a} = e^{a l o g z}$ と定めると、どちらもこの領域で正則な分枝になります。正の実軸上の点 $x > 0$ に上から近づくと $ar g z \to 0$ なので $z^{a} \to x^{a}$ です。下から近づくと $ar g z \to 2 π$ なので、 $lo g z \to lo g x + 2 π i$ 、 $z^{a} \to e^{2 π ia} x^{a}$ となります。つまり、原点のまわりを 1 周すると値が $e^{2 π ia}$ 倍にずれます。これが切れ目の上下での値の差です。

鍵穴型の積分路は次の 4 つをつないだ閉曲線です。切れ目の上岸を $ε$ から $R$ へ進む線分、半径 $R$ の大円を反時計回り、下岸を $R$ から $ε$ へ戻る線分、半径 $ε$ の小円を時計回り。厳密には、上岸・下岸として偏角 $δ$ と $2 π - δ$ の線分をとり、 $δ \to + 0$ とします。この閉曲線の内側では関数は極を除いて正則なので、留数定理が使えます。大円と小円の寄与は $R \to \infty$ 、 $ε \to 0$ で $0$ になります（半円の積分路のときと同じく「長さ × 最大値」で評価します）。残るのは上岸の $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{a}}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$ と下岸の $- e^{2 π ia} I$ だけです。

仮に上下の値が等しければ、上岸と下岸は打ち消し合い、何もわかりません。 $a$ が整数でなければ $e^{2 π ia} \neq = 1$ なので、 $(1 - e^{2 π ia}) I = 2 π i \sum Res$ から $I$ が求まります。分岐があるおかげで、実軸上の積分が消えずに残るのです。 $lo g x$ を含む積分では、 $lo g z$ そのものを使うと差が定数 $- 2 π i$ になり、 $lo g x$ が消えてしまいます。そこで $(lo g z)^{2}$ を使います。すると差は $(lo g x)^{2} - (lo g x + 2 π i)^{2} = - 4 π i lo g x + 4 π^{2}$ となり、 $lo g x$ を含む積分が残ります。

手順

分枝を定める: $0 < ar g z < 2 π$ として $z^{a} = e^{a (l o g ∣ z ∣ + i a r g z)}$ （または $lo g z$ ）を $C ∖ [0, \infty)$ で定める。実積分が収束する条件（例: $\frac{x ^{a}}{( x + 1 ) ( x + 4 )}$ なら $- 1 < a < 1$ ）と、 $a$ が整数でないことを確認する。
鍵穴型の積分路をとる: 上岸 $ε \to R$ 、大円 $C_{R}$ （反時計回り）、下岸 $R \to ε$ 、小円 $C_{ε}$ （時計回り）。被積分関数の極が $0$ や正の実軸上にないことを確かめ、内部の極をすべて挙げる。
大円と小円の積分が $0$ に近づくことを示す: たとえば $\int_{C_{R}} \leq 2 π R \cdot \frac{R ^{a}}{( R - 1 ) ( R - 4 )} \to 0$ （ $a < 1$ ）、 $\int_{C_{ε}} \leq 2 π ε \cdot \frac{ε ^{a}}{( 1 - ε ) ( 4 - ε )} \to 0$ （ $a > - 1$ ）。
上岸・下岸の値を書く: 上岸は $x^{a}$ 、下岸は $e^{2 π ia} x^{a}$ 。下岸は逆向きにたどるので、極限で $(1 - e^{2 π ia}) I = 2 π i \sum Res$ となる。
留数を、定めた分枝の偏角（負の実軸上では $ar g z = π$ ）で計算し、 $I$ について解く。

例題

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$ の値を求めよ。

例題の解答

手順1: $0 < ar g z < 2 π$ として $f (z) = \frac{z ^{1/2}}{( z + 1 ) ( z + 4 )}$ 、 $z^{1/2} = e^{\frac{1}{2} (l o g ∣ z ∣ + i a r g z)}$ と定めます。 $a = \frac{1}{2}$ は $- 1 < a < 1$ を満たし、整数ではありません。

手順2: 鍵穴型の積分路をとります（ $ε < 1$ 、 $R > 4$ ）。極は $z = - 1, - 4$ で、どちらも正の実軸上にはなく、積分路の内部にあります。

手順3: $∣ z ∣ = R$ 上では $∣ f (z) ∣ \leq \frac{R ^{1/2}}{( R - 1 ) ( R - 4 )}$ なので、 $\int_{C_{R}} f d z \leq \frac{2 π R ^{3/2}}{( R - 1 ) ( R - 4 )} \to 0$ です。 $∣ z ∣ = ε$ 上では $\int_{C_{ε}} f d z \leq \frac{2 π ε ^{3/2}}{( 1 - ε ) ( 4 - ε )} \to 0$ です。

手順4: 上岸では $z^{1/2} \to x$ 、下岸では $z^{1/2} \to e^{π i} x = - x$ です。求める積分を $I$ とおくと、極限で $I - (- 1) I = 2 I = 2 π i (Res_{z = - 1} f + Res_{z = - 4} f)$ となります。

手順5: $- 1 = e^{iπ}$ なので $(- 1)^{1/2} = e^{iπ /2} = i$ です。 $- 4 = 4 e^{iπ}$ なので $(- 4)^{1/2} = 2 e^{iπ /2} = 2 i$ です。よって $Res_{z = - 1} f = \frac{i}{- 1 + 4} = \frac{i}{3}$ 、 $Res_{z = - 4} f = \frac{2 i}{- 4 + 1} = - \frac{2 i}{3}$ で、和は $- \frac{i}{3}$ です。したがって $2 I = 2 π i \cdot (- \frac{i}{3}) = \frac{2 π}{3}$ より、 $I = \frac{π}{3}$ です。

（検算: $x = t^{2}$ とおくと $\int_{0}^{\infty} \frac{2 t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ( t ^{2} + 4 )} d t = \int_{0}^{\infty} (- \frac{2/3}{t ^{2} + 1} + \frac{8/3}{t ^{2} + 4}) d t = - \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$ となり、一致します。）

答え: $\frac{π}{3}$

よくある誤り

留数を計算するときに、主値の偏角 $- π < ar g z \leq π$ と混同してしまう誤り。たとえば $(- 1)^{1/2}$ を $e^{- iπ /2} = - i$ とすると、積分路に合わない値になります。正しくは、切れ目を正の実軸にとった分枝では負の実軸上で $ar g z = π$ なので、 $(- 1)^{1/2} = e^{iπ /2} = i$ 、 $(- 4)^{a} = 4^{a} e^{iπ a}$ です。
下岸の値を上岸と同じ $x^{a}$ としてしまう誤りや、下岸を逆向きにたどる符号を落とす誤り。そうすると上下が打ち消し合うか、 $(1 + e^{2 π ia}) I$ のような誤った式になります。正しくは、下岸では $z^{a} = e^{2 π ia} x^{a}$ で、向きが $R \to ε$ なので、全体は $(1 - e^{2 π ia}) I = 2 π i \sum Res$ です。
収束条件を確かめずに公式を使ってしまう誤り。たとえば $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{a}}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x = \frac{π ( 4 ^{a} - 1 )}{3 s i n π a}$ に $a = 1$ を入れることはできません。正しくは、 $x \to \infty$ での収束に $a < 1$ 、 $x \to 0$ での収束に $a > - 1$ が必要です。これは大円・小円の評価 $R^{a + 1} / R^{2} \to 0$ 、 $ε^{a + 1} \to 0$ が成り立つ条件と同じです。また、 $a$ が整数のときは $1 - e^{2 π ia} = 0$ となるので、この方法は使えません。
$lo g x$ を含む積分に $lo g z \cdot R (z)$ をそのまま使ってしまう誤り。上下の差が $lo g x - (lo g x + 2 π i) = - 2 π i$ となって $lo g x$ が消え、 $\int_{0}^{\infty} R (x) d x$ しか得られません。正しくは $(lo g z)^{2} R (z)$ を使います。差 $- 4 π i lo g x + 4 π^{2}$ から $\int_{0}^{\infty} R (x) lo g x d x$ を取り出します。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
留数定理を用いて、次の広義積分の値を求めよ。
$\int_{0}^{\infty} \frac{x lo g x}{( x + 1 ) ( x + 4 )} d x$

この技能の次に学べること

ガンマ関数の相反公式と倍数公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）