複素関数の問題

1. 関数と分枝

$f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とおく。$z=r{e}^{i\theta }$ $(0<\theta <2\pi )$ に対して $z^{1/2}=\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}$ と定める。$f$ の特異点は $z=-1,-9$ の 1 位の極で、どちらも切れ目の上にはない。

2. 鍵穴型の積分路

$0<\epsilon <1<9<R$ とし、次の 4 つをつないだ閉曲線 $C$ をとる。
- 切れ目の上側の線分 $\epsilon \to R$
- 大円 $|z|=R$（反時計回り）
- 切れ目の下側の線分 $R\to \epsilon$
- 小円 $|z|=\epsilon$（時計回り）

$C$ の内部には極 $z=-1,-9$ がともに含まれる。

3. 留数定理

$z=-1=e^{i\pi }$ では $z^{1/2}=e^{i\pi /2}=i$ なので
$${\mathrm{Res}}_{z=-1}f=\frac{i}{-1+9}=\frac{i}{8}.$$
$z=-9=9e^{i\pi }$ では $z^{1/2}=3e^{i\pi /2}=3i$ なので
$${\mathrm{Res}}_{z=-9}f=\frac{3i}{-9+1}=-\frac{3i}{8}.$$
よって
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\left(\frac{i}{8}-\frac{3i}{8}\right)=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}.$$

4. 円弧上の積分の評価

大円 $|z|=R$ 上では $|z+1|\ge R-1$、$|z+9|\ge R-9$ より
$$\left|{\int }_{|z|=R}fdz\right|\le \frac{\sqrt{R}}{(R-1)(R-9)}\cdot 2\pi R.$$
右辺は分子が $R^{3/2}$ の程度、分母が $R^2$ の程度なので、$R\to \infty$ で $0$ に近づく。

小円 $|z|=\epsilon$ 上では $|z+1|\ge 1-\epsilon$、$|z+9|\ge 9-\epsilon$ より
$$\left|{\int }_{|z|=\epsilon }fdz\right|\le \frac{\sqrt{\epsilon }}{(1-\epsilon )(9-\epsilon )}\cdot 2\pi \epsilon .$$
右辺は $\epsilon \to 0$ で $0$ に近づく。

5. 切れ目の上下の値の差

• 上側（$\theta \to 0$）：$z^{1/2}=\sqrt{x}$ となる。
• 下側（$\theta \to 2\pi$）：$z^{1/2}=\sqrt{x}{e}^{i\pi }=-\sqrt{x}$ となる。

下側は $R$ から $\epsilon$ へ向かって進むので、
$${\int }_R^{\epsilon }\frac{-\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx={\int }_{\epsilon }^R\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x+9)}dx.$$
したがって、求める積分を $I$ とすると、$\epsilon \to 0$、$R\to \infty$ のとき
$${\oint }_{C}fdz\to I+I=2I.$$

6. 結論

$2I=\frac{\pi }{2}$ より
$$I=\frac{\pi }{4}.$$

（検算）$x=t^2$ と置換すると $I={\int }_0^{\infty }\frac{2t^2}{(t^2+1)(t^2+9)}dt$ となる。部分分数分解
$$\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2+9)}=-\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{t^2+1}+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{t^2+9}$$
を用いると
$$I=2\left(-\frac{1}{8}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{9}{8}\cdot \frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\pi }{8}+\frac{3\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$$
となり、結果は一致する。

鍵穴型の積分路 $C$ を、大円 $|z|=R$、小円 $|z|=\epsilon$、正の実軸の上側と下側の線分で構成する。$f(z)=\frac{z^{1/2}}{(z+1)(z+9)}$ とし、偏角は $0<\arg z<2\pi$ にとる。

1. 実軸の上側では $z^{1/2}=\sqrt{x}$、下側では $z^{1/2}=-\sqrt{x}$ である。したがって、2 本の線分からの寄与の和は $2I$ になる。ここで $I$ は求める積分である。
2. 大円上では $|f|=O(R^{-3/2})$ なので、積分は $O(R^{-1/2})\to 0$ となる。小円上では $|f|=O({\epsilon }^{1/2})$ なので、積分は $O({\epsilon }^{3/2})\to 0$ となる。
3. 極は $z=-1=e^{i\pi }$ と $z=-9=9e^{i\pi }$ の 2 つで、どちらも $C$ の内部にある。
- $z=-1$ での留数は $\frac{e^{i\pi /2}}{-1+9}=\frac{i}{8}$ である。
- $z=-9$ での留数は $\frac{3e^{i\pi /2}}{-9+1}=-\frac{3i}{8}$ である。
- 留数の和は $-\frac{2i}{8}=-\frac{i}{4}$ である。
4. 留数定理より $2I=2\pi i\cdot \left(-\frac{i}{4}\right)=\frac{\pi }{2}$ となるので、$I=\frac{\pi }{4}$ である。

検算として、公式 ${\int }_0^{\infty }\frac{\sqrt{x}}{(x+a)(x+b)}dx=\frac{\pi }{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ に $a=1,b=9$ を代入すると $\frac{\pi }{1+3}=\frac{\pi }{4}$ となり、一致する。