広義積分

広義積分
$$I={\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$$
が収束することを確かめ、その値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^3\frac{dx}{\sqrt{3-x}}$$
は収束する。その値を求めよ。

広義積分
$${\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I$ が収束することは認めてよい。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I^2$ を $xy$ 平面全体での重積分に直し、極座標に変換して計算すること。

広義積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{4}}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-3x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{f}(\omega )$ を $\omega$ の式で求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とし、答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で表せ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている（パラメータ $2$ の指数分布）。$X>1$ という条件のもとで $X>3$ となる条件付き確率 $P(X>3\mid X>1)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（単位：年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
の指数分布に従うとする。この部品が $3$ 年たっても故障していなかったとき、さらに $2$ 年以上故障しない確率、すなわち条件付き確率 $P(X>5\mid X>3)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{e}^{-x/3}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。この部品が $2$ 年後に故障していないとき、$5$ 年後にも故障していない条件付き確率 $P(X>5\mid X>2)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、その確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよいものとして、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
である指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を $t$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3e^{-3x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$\theta$ と $n$ を用いて求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}dx$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}x{e}^{-3x}dx$$
とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とする。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおく。$Y_n$ の特性関数 ${\phi }_{Y_n}(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]$ の $n\to \infty$ における極限を求めて $Y_n$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n>2n)$$
を求めよ。

$n$ を正の整数とし、実数値確率変数 $Y_n$ の特性関数が
$${\phi }_n(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]=\frac{1}{1+4n(n-1){\sin }^2\frac{t}{2n}}(t\in \mathbb{R})$$
で与えられているとする。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n|\le \log 3\right)$$
を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

確率空間上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin X_k$$
とおく。$n\to \infty$ のとき、$S_n$ は確率 $1$ で定数 $L$ に収束する。この $L$ の値を求めよ。

$(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし、$(0,\infty )\times [1,2]$ 上の関数 $f(x,t)=e^{-tx}$ を考え、フビニ・トネリの定理を用いて積分の順序を交換せよ。

広義積分
$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2(x+1)}$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

正の整数 $n$ に対し
$$K_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^2\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)}{x^2(1+x^2)}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n$ の値を求めよ。

$x>0$ に対して $$\frac{e^{-x}\sin x}{x}={\int }_1^{\infty }{e}^{-tx}\sin xdt$$ が成り立つことを用いて、ルベーグ積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}\sin x}{x}dx$$ の値を求めよ（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率を $K$、$g$ に関する面積要素を $dA$ とするとき、積分
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}KdA$$
は収束する。この値を求めよ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)={\left(\frac{2a}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left[-(a-ib)x^2\right](-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$b$ は実数の定数で、$\psi$ は規格化されている。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。必要なら、$\alpha >0$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }},{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$
を用いてよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の標準偏差 $\Delta p$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$a,b,\hslash$ を用いて表せ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-2|x|}$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\omega )$ を計算し、フーリエの反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\cos 3\omega }{{\omega }^2+4}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。このとき $\hat{f}(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=e^{-|x|},g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$$
とおく。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
であることを証明せよ。ただし、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\sum _{k=1}^n\sqrt{k}-\frac{2}{3}{n}^{3/2}-\frac{1}{2}{n}^{1/2}$$
とおく。数列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ が有限の極限をもつ（ある実数に収束する）ことを証明せよ。

ただし、オイラー・マクローリンの和公式を用いる場合は、使う形を証明の中で導くこと。

実数全体で定義された 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=18x{e}^{-x}$$
と条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに区間 $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }y(x)dx$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log (1+x^2)}{x^2}dx$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=(\cosh t,\sinh t,t)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の各点での曲率を $\kappa$、弧長要素を $ds=|c^{\prime }(t)|dt$ とする。曲線全体にわたる全曲率
$${\int }_c\kappa ds={\int }_{-\infty }^{\infty }\kappa (t)|c^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y>0\}$ に双曲計量
$$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$$
を入れる（ガウス曲率は $-1$）。領域
$$D=\{(x,y)\in \mathbb{H}\mid -1\le x\le \sqrt{3},x^2+y^2\ge 4\}$$
の双曲面積（面積要素 $dA=\frac{dxdy}{y^2}$ による面積）を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2},z>0\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けされた測地線で、
$$\gamma (0)=(1,0,2\sqrt{2}),{\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$$
を満たすものとする。$\gamma (t)$ を円柱座標 $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,2\sqrt{2}r)$ で表し、$\theta (t)$ は $\theta (0)=0$ を満たす連続関数として選ぶ。このとき
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)-\underset{t\to -\infty }{\lim }\theta (t)$$
の値を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、それぞれ確率密度関数
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
をもつ。$T=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$t>0$ における $T$ の確率密度関数 $g(t)$ を $t$ の式で表せ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、$X$ は確率密度関数 $2e^{-2x}(x>0)$、$Y$ は確率密度関数 $e^{-y}(y>0)$ をもつ（いずれも $0$ 以下では密度 $0$）。$W=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$w>0$ における $W$ の確率密度関数 $g(w)$ を $w$ の式で表せ。

面積 $A$ の正方形の中に閉じ込められた $N$ 個の電子を、2 次元の自由電子気体（スピン $\frac{1}{2}$、質量 $m$、電子間の相互作用なし）とみなす。正方形の辺に周期的境界条件を課し、$N$ と $A$ は十分大きく、状態についての和は積分で置き換えてよいとする。電子の面密度を $n=N/A$ とし、エネルギーの基準は波数 $0$ の状態のエネルギーを $0$ とする。

この電子気体が絶対温度 $T$（$T>0$）の熱平衡にあり、電子はフェルミ–ディラック分布 $f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu )/k_{B}T}+1}$ に従うとする。$N$ と $A$ を一定に保つとき、化学ポテンシャル $\mu$ を $n$, $m$, $\hslash$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。ただし $k_B$ はボルツマン定数、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

質量 $m$ の $N$ 個の粒子が、3 次元空間で、原点からの距離 $r$ だけによるポテンシャル $V(r)=Ar$（$A$ は正の定数）の中に閉じ込められている。粒子どうしの相互作用は無視でき、系は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。粒子は古典的に扱ってよい（古典統計力学の正準分布に従い、粒子の内部自由度は考えない）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。正準分配関数を計算して、この系の熱容量を $N,k_B$ を用いて表せ。

$t>0$ で定義された関数 $g(t)=\frac{1-\cos 2t}{t}$ のラプラス変換 $G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$（$s>0$）を、公式
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right](s)={\int }_s^{\infty }F(u)du(F=\mathcal{L}[f])$$
を用いて求めることにより、定積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{e^{-t}(1-\cos 2t)}{t}dt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ を考える。関数 $u(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx,u(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める（$x$, $\omega$ は実数）。$f(x)$ は連続かつ絶対可積分で、$\hat{f}(\omega )$ も絶対可積分であり、上の反転公式はすべての実数 $x$ で成り立つとしてよい。$\hat{f}(\omega )$ を求め、反転公式を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\omega \sin 2\omega }{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$$
の値を求めよ。

あるバス停でバスを待つ時間（単位: 分）は、$\theta$ が与えられたとき区間 $(0,\theta )$ 上の一様分布に従うとする（$\theta >0$ は未知の母数）。$\theta$ の事前分布として、確率密度関数
$$\pi (\theta )=\frac{3\cdot 2^3}{{\theta }^4}(\theta >2)$$
（$\theta \le 2$ では $\pi (\theta )=0$）のパレート分布を用いる。

$\theta$ が与えられたとき互いに独立な 5 回の待ち時間を観測したところ、
$$1.2,3.1,0.7,2.6,1.9$$
であった。このデータのもとでの $\theta$ の事後分布の平均（事後平均）を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\log \left(1+n^x\right)}{\log n}\right)}^2\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの、$\log$ は自然対数）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx$$ の値を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log \left(x^2+9\right)}{x^2+4}dx$$ の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx$$
で定める。2 つの関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-|x|}$$
を考え、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。畳み込みのフーリエ変換の公式 $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$ と、パーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
（$u,v$ は適当な可積分・2 乗可積分関数）を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

$X_1,X_2,\dots ,X_8$ を独立な確率変数で、それぞれ標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとする。
$$W=X_1{X}_2+X_3{X}_4+X_5{X}_6+X_7{X}_8$$
とおく。確率 $P(W>1)$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$
の値を求めよ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=Ax{e}^{-\kappa |x|}(-\infty <x<\infty )$$
ここで $\kappa$ は正の定数、$A$ は規格化定数（正の実数）である。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は変数分離とフーリエ級数で得られる解
$$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{b}_k{e}^{-{\mu }_k^{2}t}\sin ({\mu }_{k}x),{\mu }_k=k+\frac{1}{2}$$
の形で表される（係数 $b_k$ は初期条件から定まる）。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }u(\pi ,t)dt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $\phi (x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。実数値で可積分かつ 2 乗可積分な関数 $\phi ,\psi$ に対して成り立つパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)\overline{\psi (x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{\phi }(\omega )\overline{\hat{\psi }(\omega )}d\omega$$
を用いてよい。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\le 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
のフーリエ変換を利用して、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+x^2)}dx$$
の値を求めよ。

抵抗 $R=1\text{k}\Omega$ とコンデンサ $C=1\text{mF}$ からなる RC 低域通過回路がある。入力電圧 $v_{\text{in}}(t)$ を R と C の直列接続の両端に加え、C の両端の電圧を出力電圧 $v_{\text{out}}(t)$ とする（出力端には何も接続しない）。$t$ は時刻（単位は s）である。

この回路に、高さ $1\text{V}$、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$v_{\text{in}}(t)=u(t)-u(t-2)[\text{V}]$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、$t<0$ でコンデンサの電荷は $0$ とする。

出力電圧の二乗積分
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_{\text{out}}(t{)}^{2}dt[{\text{V}}^2\cdot \text{s}]$$
を求めよ。

関数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ をもつとは、すべての実数 $t$ に対して $h(t+2\pi )=h(t)$ が成り立つことをいう。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ をもつ連続関数とする。微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R})$$
の解であって、$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能かつ周期 $2\pi$ をもつ関数 $y$ が、ちょうど 1 つ存在することを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の一般定理は用いずに示すこと。広義積分の基本的な性質（絶対収束すれば収束する、など）と微分積分学の基本定理は用いてよい。

$\lambda$ を正の定数とする。確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、いずれも確率密度関数
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t}& (t>0)\\ 0& (t\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。
$$U=\frac{X}{X+Y},V=X+Y$$
とおく（$X,Y$ は確率 $1$ で正なので、$U,V$ は確率 $1$ で定まる）。このとき、$U$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、かつ $U$ と $V$ は独立であることを証明せよ。

ただし、次の 2 つの事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$(X,Y)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ の外では $0$ となる同時密度関数 $f_{X,Y}$ をもち、$\Phi :D\to E$ が開集合 $E$ への $C^1$ 級の全単射で、逆写像 $(u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v))$ も $C^1$ 級でそのヤコビアン $J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ が $E$ 上で $0$ にならないとき、$(U,V)=\Phi (X,Y)$ の同時密度関数は $E$ 上で $f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|$、$E$ の外で $0$ である。
- 2 つの連続型確率変数が独立であることは、同時密度関数が各周辺密度関数の積に等しいことと同値である。

関数 $f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定める。$f,g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対して成り立つパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
は用いてよい（ただし留数定理は用いないこと）。