フーリエ解析・ラプラス変換の問題

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ を考える。関数 $u(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx,u(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める（$x$, $\omega$ は実数）。$f(x)$ は連続かつ絶対可積分で、$\hat{f}(\omega )$ も絶対可積分であり、上の反転公式はすべての実数 $x$ で成り立つとしてよい。$\hat{f}(\omega )$ を求め、反転公式を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\omega \sin 2\omega }{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。このとき $\hat{f}(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (|x|\leqq \pi )\\ 0& (|x|>\pi )\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$f(x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\pi \omega )\sin \frac{\pi \omega }{3}}{1-{\omega }^2}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =1$ で連続になるように値を定めるものとする。