フーリエ変換

フーリエ変換と逆変換を計算し、微分がかけ算に変わる性質を使える

前提

フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
広義積分（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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円の周の長さと面積（算数平面図形）
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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
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三角関数の積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
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関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
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第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）

説明

フーリエ変換は、周期をもたない関数 $f (x)$ を、いろいろな角周波数 $ξ$ の波 $e^{i ξ x}$ の重ね合わせとして表すための道具です。周期関数に対するフーリエ級数で、周期を無限に長くした極限と考えることができます。変換すると微分が $i ξ$ のかけ算に変わります。そのため、微分方程式を代数的な式に直して解く場面や、信号に含まれる周波数成分を調べる場面で使われます。

なぜそうしてよいのか

このページでは次の定義を使います。 $\int_{- \infty}^{\infty} ∣ f (x) ∣ d x$ が収束する関数 $f$ に対し、 $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x (ξ は実数)$ を $f$ のフーリエ変換とします。また $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f^(ξ) e^{i ξ x} d ξ$ を逆変換とします。 $∣ e^{- i ξ x} ∣ = 1$ なので $∣ f (x) e^{- i ξ x} ∣ = ∣ f (x) ∣$ です。したがって $∣ f ∣$ の広義積分が収束すれば、 $f^(ξ)$ の積分も実部・虚部ともに収束します。

なぜこの形になるのかを見るため、区間 $[- L, L]$ 上のフーリエ級数から出発します。オイラーの公式から $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ 、 $sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}$ です。これで $cos$ と $sin$ を書き直すと、級数は $f (x) = n = - \infty \sum \infty c_{n} e^{inπ x / L}, c_{n} = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} f (t) e^{- inπ t / L} d t$ という形になります。ここで $ξ_{n} = \frac{nπ}{L}$ 、 $Δ ξ = \frac{π}{L}$ とおくと $\frac{1}{2 L} = \frac{Δ ξ}{2 π}$ なので、 $f (x) = n \sum \frac{Δ ξ}{2 π} (\int_{- L}^{L} f (t) e^{- i ξ_{n} t} d t) e^{i ξ_{n} x}$ と書けます。 $L \to \infty$ とすると、かっこの中は $f^(ξ_{n})$ に近づき、 $Δ ξ$ をかけた和は積分（区分求積）に近づきます。こうして得られるのが上の逆変換の式です。

ただし、これは直観的な導き方です。逆変換の式は、たとえば次の条件のもとで厳密に成り立ちます。 $f$ が連続で区分的に滑らかであり、 $f$ と $f^$ がともに絶対積分可能であることです。 $f$ に不連続点がある場合は $f^$ が絶対積分可能にならないので、この条件はそのままでは使えません。 $f$ が絶対積分可能で区分的に滑らかなら、逆変換の積分を $lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- R}^{R} f^(ξ) e^{i ξ x} d ξ$ と解釈します。この極限は、 $f$ が連続な点では $f (x)$ に、不連続点ではその点での左右の極限の平均値 $\frac{f ( x + 0 ) + f ( x - 0 )}{2}$ に収束します。

微分がかけ算に変わる理由は部分積分にあります。 $f$ が微分可能で、 $f$ と $f^{'}$ がともに絶対積分可能であり、 $x \to \pm \infty$ で $f (x) \to 0$ とします。このとき $f^{'} (ξ) = [f (x) e^{- i ξ x}]_{- \infty}^{\infty} + i ξ \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x = i ξ f^(ξ)$ となります。境界の項は、 $∣ e^{- i ξ x} ∣ = 1$ と $f \to 0$ から $0$ です。同じ計算を繰り返せば $f^{(n)} (ξ) = (i ξ)^{n} f^(ξ)$ が得られます（各段階で同様の条件が必要です）。

手順

$\int_{- \infty}^{\infty} ∣ f (x) ∣ d x$ が収束することを確かめ、定義式 $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x$ を書く。
$f$ の式が場所によって変わる場合（絶対値や区分的な定義）は、そこで積分区間を分ける。無限区間は $lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R}$ のように極限として扱う。
複素数 $c \neq = 0$ に対して $\int e^{c x} d x = \frac{e ^{c x}}{c}$ を使って計算する。この式は、オイラーの公式で実部と虚部に分けて微分し、 $(e^{c x})^{'} = c e^{c x}$ となることから確かめられる。極限をとるときは $∣ e^{c x} ∣ = e^{(Re c) x}$ を使って判定する。 $c = 0$ になる $ξ$ があれば、その値は別に計算する。
得られた複素数の式を通分する。必要ならオイラーの公式で $sin$ や $cos$ に直して整理する。
逆変換が必要なときは $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f^(ξ) e^{i ξ x} d ξ$ を使う。 $f^$ が絶対積分可能でないときは $lim_{R \to \infty} \int_{- R}^{R}$ と解釈する。微分を含む式は $f^{(n)} = (i ξ)^{n} f^$ でかけ算に置き換える。

例題

$f (x) = e^{- ∣ x ∣}$ のフーリエ変換 $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x$ を求めよ（ $ξ$ は実数）。

例題の解答

【手順1】 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- ∣ x ∣} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 2$ なので収束する。よって $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ∣ x ∣} e^{- i ξ x} d x$ はすべての実数 $ξ$ で定まる。
【手順2】 $x \geq 0$ では $e^{- ∣ x ∣} = e^{- x}$ 、 $x < 0$ では $e^{- ∣ x ∣} = e^{x}$ なので、区間を $0$ で分ける。 $f^(ξ) = \int_{0}^{\infty} e^{- (1 + i ξ) x} d x + \int_{- \infty}^{0} e^{(1 - i ξ) x} d x$
【手順3】 $1 \pm i ξ$ の実部は $1$ なので、 $1 \pm i ξ \neq = 0$ である。第1項は $R \to \infty lim [\frac{e ^{- (1 + i ξ) x}}{- ( 1 + i ξ )}]_{0}^{R} = R \to \infty lim \frac{1 - e ^{- (1 + i ξ) R}}{1 + i ξ} = \frac{1}{1 + i ξ}$ となる。ここで $∣ e^{- (1 + i ξ) R} ∣ = e^{- R} \to 0$ を使った。第2項も同様に $R \to \infty lim [\frac{e ^{(1 - i ξ) x}}{1 - i ξ}]_{- R}^{0} = \frac{1}{1 - i ξ}$ となる（ $∣ e^{- (1 - i ξ) R} ∣ = e^{- R} \to 0$ ）。
【手順4】通分すると $f^(ξ) = \frac{1}{1 + i ξ} + \frac{1}{1 - i ξ} = \frac{( 1 - i ξ ) + ( 1 + i ξ )}{1 + ξ ^{2}} = \frac{2}{1 + ξ ^{2}}$ となる。 $f$ は偶関数であり、結果が実数の偶関数になっていることとも合う。

答え: $\frac{2}{1 + ξ ^{2}}$

よくある誤り

逆変換の係数 $\frac{1}{2 π}$ を落として $f (x) = \int f^(ξ) e^{i ξ x} d ξ$ としてしまう誤り。正しくは、このページの定義では $f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f^(ξ) e^{i ξ x} d ξ$ 。教科書によっては $\frac{1}{2 π}$ を両側に振り分けるなど流儀が違うので、一つの定義に揃えて使う。
微分の性質の符号を取り違えて $f^{'} = - i ξ f^$ としてしまう誤り。正しくは、変換の核が $e^{- i ξ x}$ なら部分積分で $f^{'} (ξ) = i ξ f^(ξ)$ 。また、この性質は $x \to \pm \infty$ で $f \to 0$ となり、境界項 $[f e^{- i ξ x}]_{- \infty}^{\infty}$ が消えることが前提なので、その条件を確かめる。
$e^{- ∣ x ∣}$ を区間に分けずに $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x} e^{- i ξ x} d x$ と計算してしまう誤り。この積分は $x \to - \infty$ で発散する。正しくは $x \geq 0$ と $x < 0$ に分け、それぞれ $e^{- x}$ と $e^{x}$ で計算する。
$\int e^{c x} d x = \frac{e ^{c x}}{c}$ を $c = 0$ になる $ξ$ でも使ってしまう誤り。たとえば $∣ x ∣ \leq 1$ で $1$ 、それ以外で $0$ となる関数では、 $ξ \neq = 0$ のとき $f^(ξ) = \frac{2 s i n ξ}{ξ}$ となる。一方 $ξ = 0$ のときは直接計算して $f^(0) = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ とする。なお、この $f^$ は絶対積分可能でないので、逆変換は $lim_{R \to \infty} \frac{1}{2 π} \int_{- R}^{R}$ と解釈する。不連続点 $x = \pm 1$ では、その値は $\frac{1}{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

畳み込み（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
フーリエ変換の基本公式と規約の換算（大学院数学フーリエ解析）
標本化定理とエイリアシング（大学物理信号処理・通信工学）
線形応答と久保公式（大学院物理多体系の量子論・物性理論）
運動量殻の繰り込み群とガウス固定点（大学院物理相転移と繰り込み群）
制動放射（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））
ヘルムホルツ方程式のグリーン関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
遅延グリーン関数と $i ε$ 処方（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
自由スカラー場の正準量子化とモード展開（大学院物理場の量子論）