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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

実数 $x$ と $t \geq 0$ に対して、関数 $u (x, t)$ についての熱方程式の初期値問題
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x \in R, t > 0), u (x, 0) = e^{- x^{2}} (x \in R)$
を考える。 $x$ についてのフーリエ変換を $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x ξ} d x$ と定める。フーリエ変換を用いて、この初期値問題の有界な解 $u (x, t)$ （ $t > 0$ ）を $x, t$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ変換による解法と熱核（説明と入口の問題）
フーリエ変換（説明と入口の問題）
ガウス積分（説明と入口の問題）
畳み込み（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x$ についてフーリエ変換し、熱方程式を $t$ についての常微分方程式に直す技能（フーリエ変換による解法と熱核）を使う。

ヒント 2

$\partial_{x}^{2} u = - ξ^{2} u^$ より $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ 。また $\int e^{- a x^{2}} e^{- i x ξ} d x = π / a e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ を使う。

ヒント 3

$u^(ξ, 0) = π e^{- ξ^{2} /4}$ なので $u^(ξ, t) = π e^{- (1 + 4 t) ξ^{2} /4}$ 。これがどんなガウス関数のフーリエ変換かを、 $a = \frac{1}{1 + 4 t}$ として読み取る。

答えと解説

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\frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}

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解説を読む

手順 1：フーリエ変換で常微分方程式にする。
$u (x, t)$ を $x$ についてフーリエ変換したものを $u^(ξ, t)$ とする。微分がかけ算に変わる性質 $\partial_{x}^{2} u = (i ξ)^{2} u^= - ξ^{2} u^$ より、熱方程式は各 $ξ$ ごとに
$\frac{\partial u ^}{\partial t} (ξ, t) = - ξ^{2} u^(ξ, t)$
という $t$ の常微分方程式になる。これを解くと
$u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t} .$

手順 2：初期値のフーリエ変換を計算する。
$a > 0$ に対して、ガウス積分と平方完成から
$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} e^{- i x ξ} d x = \frac{π}{a} e^{- \frac{ξ ^{2}}{4 a}} (*)$
が成り立つ。 $a = 1$ とすると $u^(ξ, 0) = π e^{- ξ^{2} /4}$ 。よって
$u^(ξ, t) = π e^{- \frac{ξ ^{2}}{4} - ξ^{2} t} = π e^{- \frac{( 1 + 4 t ) ξ ^{2}}{4}} .$

手順 3：逆変換する。
$(*)$ で $\frac{1}{4 a} = \frac{1 + 4 t}{4}$ 、すなわち $a = \frac{1}{1 + 4 t}$ とおくと、 $e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}$ のフーリエ変換は $π (1 + 4 t) e^{- \frac{( 1 + 4 t ) ξ ^{2}}{4}}$ である。したがって
$u^(ξ, t) = \frac{π}{π ( 1 + 4 t )} \cdot π (1 + 4 t) e^{- \frac{( 1 + 4 t ) ξ ^{2}}{4}}$
と見て、
$u (x, t) = \frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}} .$

確認（熱核との畳み込み）。
$e^{- ξ^{2} t}$ の逆変換は熱核 $G (x, t) = \frac{1}{4 π t} e^{- \frac{x ^{2}}{4 t}}$ であり、積は畳み込みに戻るので $u = G (\cdot, t) * u_{0}$ である。実際に計算すると、指数部分は
$- \frac{( x - y ) ^{2} + 4 t y ^{2}}{4 t} = - \frac{( 1 + 4 t ) ( y - \frac{x}{1 + 4 t} ) ^{2}}{4 t} - \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}$
と平方完成できるので、
$u (x, t) = \frac{1}{4 π t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}} \frac{4 π t}{1 + 4 t} = \frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}$
となり、一致する。 $t \to 0$ で $e^{- x^{2}}$ に戻ることも確かめられる。

別解

両辺を $x$ についてフーリエ変換すると $u^_{t} = - ξ^{2} u^$ となる。よって $u^(ξ, t) = u^_{0} (ξ) e^{- ξ^{2} t}$ 。
初期値のフーリエ変換は、 $\int e^{- x^{2}} e^{- i x ξ} d x = π e^{- ξ^{2} /4}$ である。
したがって $u^(ξ, t) = π e^{- ξ^{2} (t + 1/4)}$ 。
ガウス関数 $e^{- a x^{2}}$ のフーリエ変換は $π / a e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ である。 $1/ (4 a) = t + 1/4$ より $a = 1/ (1 + 4 t)$ と決まる。
このとき $π / a = π (1 + 4 t)$ なので、 $e^{- a x^{2}}$ のフーリエ変換は $π (1 + 4 t) e^{- ξ^{2} (t + 1/4)}$ となる。
$u^$ の係数 $π$ との比をとると $u = \frac{1}{1 + 4 t} e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}$ 。
検算: $t = 0$ で $e^{- x^{2}}$ となる。 $u = (1 + 4 t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}$ について $u_{t} = u (- \frac{2}{1 + 4 t} + \frac{4 x ^{2}}{( 1 + 4 t ) ^{2}})$ 、 $u_{xx} = u (- \frac{2}{1 + 4 t} + \frac{4 x ^{2}}{( 1 + 4 t ) ^{2}})$ で一致する。

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