偏微分方程式の用語と解の確認

実数全体で定義された $2$ 変数関数 $u(x,t)$ に対する偏微分方程式
$$u_t=2u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0)$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^3(x\in \mathbb{R})$$
を考える。ここで $u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$, $u_{xx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ である。$k$ を実数の定数として、関数
$$u(x,t)=x^3+kxt$$
がこの偏微分方程式と初期条件をともに満たすような $k$ の値を求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、実数 $x$ と $t\geqq 0$ に対して
$$u(x,t)=A{e}^{-kt}\sin 3x$$
とおく。この関数 $u$ が、熱方程式（2 階線形偏微分方程式）
$$u_t=2u_{xx}$$
と初期条件
$$u(x,0)=5\sin 3x(x\text{ は任意の実数})$$
をともに満たすとき、$A,k$ の値を組 $(A,k)$ の形でこの順に求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、
$$u(x,t)=A{e}^{kt}\sin 2x$$
とおく。この関数が次の熱方程式の初期値・境界値問題の解になるとき、組 $(A,k)$ を求めよ。
$$u_t=3u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=5\sin 2x(0\le x\le \pi ).$$

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。

上半平面 $H=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y>0\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in H),u(x,0)=g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
を考える。$u$ は $H$ で有界な調和関数で、$x\ne \pm 1$ である境界点 $(x,0)$ において連続に境界値 $g(x)$ をとるものとする（このような解はただ 1 つである）。$H$ のディリクレ境界条件に対するグリーン関数（鏡像法で得られるもの）から導かれるポアソン核を用いて、$u(1,1)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の開単位球を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|<1\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=\frac{1}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
とする。各 $y\in B$ に対して、$h^y\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\Delta h^y=0(\text{in }B),h^y(x)=\Phi (x-y)(x\in \partial B)$$
を満たす関数とし、$B$ におけるディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (x-y)-h^y(x)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(0,0,\frac{1}{3}\right)$, $y_0=\left(0,0,-\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非線形 1 階偏微分方程式（ハミルトン・ヤコビ方程式）の初期値問題
$$u_t+\frac{1}{2}(u_x{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2=0\left(x\in \mathbb{R},0<t<\frac{\pi }{2}\right),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題は $\mathbb{R}\times \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上の $C^2$ 級の解 $u$ をただ一つもつ（このことは認めてよい）。特性曲線の方法（特性方程式）を用いて $u$ を求め、値 $u\left(1,\frac{\pi }{3}\right)$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する保存則（バーガース方程式）の初期値問題
$$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=\{\begin{array}{ll}2& (-1<x<0)\\ 1& (0<x<1)\\ 0& (x<-1\text{または}x>1)\end{array}$$
を考える。$u$ はこの問題のエントロピー解（区分的に滑らかで、不連続線ではランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件をみたす弱解）とする。このエントロピー解は、ある時刻以降、不連続線（衝撃波）をちょうど 1 本だけもつ。時刻 $t=6$ における衝撃波の位置 $x$ 座標を求めよ。