フォッカー・プランク方程式と定常分布

過減衰ランジュバン方程式に対応するフォッカー・プランク方程式 $\partial_{t} p = \partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p]$ を書き、反射壁などの境界条件のもとで確率流ゼロの定常分布 $p_{s} \propto e^{- U / k_{B} T}$ や一定流のある定常解を求められる

前提

ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）
偏微分方程式の用語と解の確認（大学院数学偏微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）
偏微分方程式の用語と解の確認（大学院数学偏微分方程式）

説明

ランジュバン方程式は 1 個の粒子の揺らぐ軌道を表しますが、たくさんの試行をまとめた「時刻 $t$ に位置 $x$ にいる確率密度 $p (x, t)$ 」の時間変化を表すのがフォッカー・プランク方程式です。ポテンシャル $U (x)$ 中で過減衰運動する粒子では $\partial_{t} p = \partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p]$ という偏微分方程式になり、これは確率の流れ $J$ を使った連続の式 $\partial_{t} p = - \partial_{x} J$ の形をしています。この技能では、この方程式を書き、反射壁などの境界条件から $J$ を決めて、十分時間がたったあとの定常分布（流れのないボルツマン分布 $p_{s} \propto e^{- U / k_{B} T}$ や、一定の流れがある定常解）を求めます。沈降平衡、光ピンセット中の粒子の分布、傾いた周期ポテンシャル中の輸送などを扱うときに使います。

なぜそうしてよいのか

過減衰のランジュバン方程式 $γ x ˙ = - U^{'} (x) + ξ (t)$ （ $⟨ ξ (t) ξ (t^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - t^{'})$ ）は、確率微分方程式で書くと $d x = - \frac{U ^{'} ( x )}{γ} d t + 2 D d W$ 、 $D = \frac{k _{B} T}{γ}$ です（アインシュタインの関係）。なめらかな関数 $f (x)$ に伊藤の公式を使うと $df = f^{'} d x + \frac{1}{2} f^{''} (d x)^{2} = (- \frac{U ^{'}}{γ} f^{'} + D f^{''}) d t + (平均 0 の項)$ なので、
$\frac{d}{d t} \int f p d x = \int (- \frac{U ^{'}}{γ} f^{'} + D f^{''}) p d x$
です。右辺を部分積分して $f$ の微分を $p$ の側に移すと（境界からの寄与は後で境界条件で消します）、どんな $f$ でも成り立つことから
$\partial_{t} p = \partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p] = - \partial_{x} J, J = - \frac{U ^{'}}{γ} p - D \partial_{x} p$
が得られます。 $J$ は確率の流れで、第 1 項は力 $- U^{'}$ による終端速度 $- U^{'} / γ$ で運ばれる流れ、第 2 項は濃いところから薄いところへの拡散の流れです。

定常状態では $\partial_{t} p = 0$ なので $\partial_{x} J = 0$ 、つまり $J$ は $x$ によらない定数です。粒子が通り抜けられない反射壁では壁で $J = 0$ なので、定常状態では至るところ $J = 0$ になります。すると $D p^{'} = - \frac{U ^{'}}{γ} p$ は変数分離形で、 $D = k_{B} T / γ$ を使うと $\frac{p ^{'}}{p} = - \frac{U ^{'}}{k _{B} T}$ 、よって
$p_{s} (x) = \frac{1}{Z} e^{- U (x) / k_{B} T}, Z = \int e^{- U / k_{B} T} d x$
とボルツマン分布が得られます。アインシュタインの関係があるからこそ、力による流れと拡散の流れがちょうど打ち消し合い、温度 $T$ の平衡分布に落ち着くのです。

一方、リング（周期境界）上で傾いた周期ポテンシャルを考える場合や、一方から粒子を入れて他方で取り除く場合には、定常でも $J \neq = 0$ の一定値が残ります。このときは $D p^{'} + \frac{U ^{'}}{γ} p = - J$ を 1 階線形微分方程式として解き
$p_{s} (x) = e^{- U (x) / k_{B} T} [C - \frac{J}{D} \int^{x} e^{U (y) / k_{B} T} d y]$
とし、定数 $C$ と $J$ を境界条件（周期性や吸収壁での $p = 0$ ）と規格化で決めます。

手順

ランジュバン方程式 $γ x ˙ = - U^{'} + ξ$ から、 $D = \frac{k _{B} T}{γ}$ としてフォッカー・プランク方程式 $\partial_{t} p = - \partial_{x} J$ 、 $J = - \frac{U ^{'}}{γ} p - D \partial_{x} p$ を書く
定常状態では $\partial_{x} J = 0$ なので $J$ は定数であることを使う
境界条件から $J$ を決める：反射壁なら壁で $J = 0$ なので $J = 0$ 、周期境界や吸収壁なら一定の $J$ が残りうる
$J = 0$ なら $p_{s} = \frac{1}{Z} e^{- U / k_{B} T}$ 。 $J \neq = 0$ なら $D p^{'} + \frac{U ^{'}}{γ} p = - J$ を 1 階線形微分方程式として解く
規格化 $\int p_{s} d x = 1$ （と残りの境界条件）で定数を決め、平均などの求める量を計算する

例題

$x \geq 0$ の領域で、粒子が過減衰のランジュバン方程式 $γ x ˙ = - U^{'} (x) + ξ (t)$ （ $⟨ ξ (t) ξ (t^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - t^{'})$ ）に従って運動する。ポテンシャルは $U (x) = F x$ （ $F > 0$ は定数）で、 $x = 0$ には粒子が通り抜けられない反射壁がある。フォッカー・プランク方程式の定常分布 $p_{s} (x)$ を求め、定常状態での位置の平均 $⟨ x ⟩$ を $F, k_{B}, T$ で表せ。

例題の解答

手順 1： $D = \frac{k _{B} T}{γ}$ として $\partial_{t} p = - \partial_{x} J$ 、 $J = - \frac{F}{γ} p - D \partial_{x} p$ 。

手順 2：定常状態では $\partial_{x} J = 0$ で $J$ は定数。

手順 3： $x = 0$ は反射壁なので $J (0) = 0$ 、したがって $x \geq 0$ のすべてで $J = 0$ 。

手順 4： $D p_{s}^{'} = - \frac{F}{γ} p_{s}$ より $\frac{p _{s}^{'}}{p _{s}} = - \frac{F}{γ D} = - \frac{F}{k _{B} T}$ 。よって $p_{s} (x) = C e^{- F x / k_{B} T}$ （これは $e^{- U / k_{B} T}$ に比例する）。

手順 5：規格化 $\int_{0}^{\infty} C e^{- F x / k_{B} T} d x = C \frac{k _{B} T}{F} = 1$ より $C = \frac{F}{k _{B} T}$ 。 $p_{s}$ は平均 $\frac{k _{B} T}{F}$ の指数分布なので
$⟨ x ⟩ = \int_{0}^{\infty} x \frac{F}{k _{B} T} e^{- F x / k_{B} T} d x = \frac{k _{B} T}{F} .$
（ $γ$ によらないのは、平衡分布が $U$ と $T$ だけで決まるため。）

答え: $\frac{k _{B} T}{F}$

よくある誤り

反射壁の条件を「壁で $p = 0$ 」としてしまう誤り。 $p = 0$ は粒子を取り除く吸収壁の条件で、反射壁は粒子が通り抜けない条件なので、正しくは壁で確率流 $J = - \frac{U ^{'}}{γ} p - D \partial_{x} p = 0$ 。
ドリフト項の符号を逆にして $\partial_{t} p = \partial_{x} [- \frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p]$ とし、 $p_{s} \propto e^{+ U / k_{B} T}$ を得てしまう誤り。力は $- U^{'}$ で、それに運ばれる流れは $- \frac{U ^{'}}{γ} p$ なので、 $J = - \frac{U ^{'}}{γ} p - D \partial_{x} p$ 、 $\partial_{t} p = - \partial_{x} J = \partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p]$ で、 $p_{s} \propto e^{- U / k_{B} T}$ 。
定常状態なら必ず $J = 0$ としてしまう誤り。定常の条件は $\partial_{x} J = 0$ （ $J$ が一定）だけで、周期境界の傾いたポテンシャルや粒子の出入りがある系では $J \neq = 0$ の定常解 $p_{s} = e^{- U / k_{B} T} [C - \frac{J}{D} \int^{x} e^{U / k_{B} T} d y]$ になる。 $J = 0$ にできるのは反射壁などで流れが止められているとき。
拡散係数を $D = k_{B} T$ や $D = γ k_{B} T$ として $p_{s} \propto e^{- U / (γ k_{B} T)}$ のような分布を得てしまう誤り。雑音の強さ $2 γ k_{B} T$ を $γ^{2}$ で割って $D = \frac{k _{B} T}{γ}$ で、 $\frac{U ^{'}}{γ D} = \frac{U ^{'}}{k _{B} T}$ となり、 $γ$ は定常分布に現れない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
容器の底 $x = 0$ の上（ $x \geq 0$ 、 $x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$γ \frac{d x}{d t} = - U^{'} (x) + ξ (t), U (x) = F x (F > 0), ⟨ ξ (t) ξ (s)⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - s)$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、 $γ > 0$ は抵抗係数、 $T$ は温度、 $k_{B}$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p (x, t)$ はフォッカー・プランク方程式
$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} [\frac{U ^{'} ( x )}{γ} p + D \frac{\partial p}{\partial x}], D = \frac{k _{B} T}{γ}$
にしたがい、底 $x = 0$ は反射壁（確率流が $0$ ）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨ x ⟩$ を、 $k_{B}$ , $T$ , $F$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平均初到達時間（大学院物理非平衡統計力学）