平均初到達時間

後ろ向き方程式 $D T^{''} - \frac{U ^{'}}{γ} T^{'} = - 1$ を吸収壁・反射壁の境界条件で解き、区間から出るまでの平均初到達時間を初期位置の関数として求められる

前提

フォッカー・プランク方程式と定常分布（大学院物理非平衡統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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フォッカー・プランク方程式と定常分布（大学院物理非平衡統計力学）

説明

過減衰ランジュバン方程式 $γ x ˙ = - U^{'} (x) + ξ (t)$ （拡散係数 $D = k_{B} T / γ$ ）に従う粒子が、位置 $x$ から出発して区間の端（吸収壁）に初めて達するまでにかかる時間の平均 $T (x)$ を求める技能です。 $T (x)$ は時間に依存しない 2 階の常微分方程式（後ろ向き方程式） $D T^{''} - \frac{U ^{'}}{γ} T^{'} = - 1$ を、吸収壁では $T = 0$ 、反射壁では $T^{'} = 0$ という境界条件で解けば得られます。化学反応のポテンシャル障壁越え（クラマース問題）、細胞内の分子が標的に届くまでの時間、ポリマーの抜け出し時間などの見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

出発点 $x$ からの平均初到達時間を $T (x)$ とします。最初の微小時間 $Δ t$ だけ粒子を動かすと、粒子は $x + Δ x$ に移り、そこから改めて出発したのと同じ状況になります（マルコフ性）。したがって $T (x) = Δ t + ⟨ T (x + Δ x)⟩$ です。過減衰ランジュバン方程式より $⟨ Δ x ⟩ = - \frac{U ^{'} ( x )}{γ} Δ t$ 、 $⟨(Δ x)^{2} ⟩ = 2 D Δ t + O (Δ t^{2})$ なので、 $T (x + Δ x)$ を 2 次までテイラー展開して平均すると $⟨ T (x + Δ x)⟩ = T (x) - \frac{U ^{'}}{γ} T^{'} Δ t + D T^{''} Δ t + o (Δ t)$ 。これを代入して $Δ t$ で割り $Δ t \to 0$ とすると $D T^{''} (x) - \frac{U ^{'} ( x )}{γ} T^{'} (x) = - 1$ が得られます。微分は「終点」ではなく「出発点 $x$ 」についてとっていることに注意してください。フォッカー・プランク方程式 $\partial_{t} p = \partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} p + D \partial_{x} p]$ の右辺の演算子とは、ドリフト項の微分のかかり方が違う（随伴の）演算子になっています。

境界条件は次のように決まります。吸収壁の上から出発すれば時間 0 で到達しているので $T = 0$ 。反射壁では、壁のすぐ内側から出発しても壁で跳ね返されるだけで壁の位置から出発したのと区別がつかないので、 $T$ は壁に垂直な方向に平らになり $T^{'} = 0$ です。

この方程式は $T^{'}$ についての 1 階線形微分方程式なので、積分因子で解けます。 $β = 1/ (γ D) = 1/ k_{B} T$ とおくと $(e^{- β U} T^{'})^{'} = e^{- β U} (T^{''} - \frac{U ^{'}}{γ D} T^{'}) = - \frac{1}{D} e^{- β U}$ となるので、2 回積分すれば一般の $U$ について $T^{'} (y) = - \frac{1}{D} e^{β U (y)} \int^{y} e^{- β U (z)} d z$ の形の解が得られます。積分因子が定常分布 $p_{s} \propto e^{- U / k_{B} T}$ と同じ形をしているのは偶然ではなく、平衡分布で重み付けした「出発点より手前の領域の重み」が到達時間を決めていることを表しています。

手順

区間 $[a, b]$ と各端の性質（吸収か反射か）を確認し、後ろ向き方程式 $D T^{''} - \frac{U ^{'}}{γ} T^{'} = - 1$ （ $D = k_{B} T / γ$ ）を書く。
境界条件を置く。吸収壁 $x = c$ では $T (c) = 0$ 、反射壁 $x = c$ では $T^{'} (c) = 0$ 。
積分因子 $e^{- U / k_{B} T}$ を掛けて $(e^{- U / k_{B} T} T^{'})^{'} = - \frac{1}{D} e^{- U / k_{B} T}$ の形にする（ $U$ が定数なら単に $D T^{''} = - 1$ ）。
1 回積分して $T^{'}$ を求め、反射壁の条件 $T^{'} = 0$ （反射壁がなければ任意定数のまま）で積分定数を決める。
もう 1 回積分して $T$ を求め、吸収壁の条件 $T = 0$ で残りの積分定数を決める。
結果が $T \geq 0$ であること、吸収壁で $0$ になることを確かめる。

例題

ポテンシャルのない（ $U = 一定$ ）1 次元の過減衰ブラウン運動を考える。拡散係数を $D$ とする。粒子は区間 $0 \leq x \leq L$ にあり、 $x = 0$ は反射壁、 $x = L$ は吸収壁である。位置 $x$ （ $0 \leq x \leq L$ ）から出発した粒子が $x = L$ に初めて到達するまでの平均時間 $T (x)$ を、 $x, L, D$ を用いて求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $U^{'} = 0$ なので後ろ向き方程式は $D T^{''} (x) = - 1$ 。

【手順 2】境界条件は、反射壁 $x = 0$ で $T^{'} (0) = 0$ 、吸収壁 $x = L$ で $T (L) = 0$ 。

【手順 3】 $U$ が定数なので積分因子は定数で、方程式は $T^{''} = - \frac{1}{D}$ のままでよい。

【手順 4】1 回積分して $T^{'} (x) = - \frac{x}{D} + C_{1}$ 。 $T^{'} (0) = 0$ より $C_{1} = 0$ 。

【手順 5】もう 1 回積分して $T (x) = - \frac{x ^{2}}{2 D} + C_{2}$ 。 $T (L) = 0$ より $C_{2} = \frac{L ^{2}}{2 D}$ 。よって $T (x) = \frac{L ^{2} - x ^{2}}{2 D} .$

【手順 6】 $0 \leq x \leq L$ で $T (x) \geq 0$ 、 $T (L) = 0$ で吸収壁と合う。反射壁から出発すると $T (0) = \frac{L ^{2}}{2 D}$ となり、平均二乗変位 $2 D t$ が $L^{2}$ に達する時間の程度になっていて妥当である。

答え: $\frac{L ^{2} - x ^{2}}{2 D}$

よくある誤り

フォッカー・プランク方程式の演算子をそのまま使い $\partial_{x} [\frac{U ^{'}}{γ} T] + D T^{''} = - 1$ としてしまう誤り。平均初到達時間は出発点についての後ろ向き方程式に従うので、正しくは $D T^{''} - \frac{U ^{'}}{γ} T^{'} = - 1$ （ドリフト項は $T^{'}$ に掛かり、符号はマイナス）。
境界条件を取り違え、反射壁で $T = 0$ 、吸収壁で $T^{'} = 0$ としてしまう誤り。正しくは吸収壁で $T = 0$ （すでに到達している）、反射壁で $T^{'} = 0$ 。例えば上の例題で取り違えると $T (x) = \frac{x ( 2 L - x )}{2 D}$ のような、吸収壁で 0 にならない誤った式になる。
右辺の符号や係数を落とし $D T^{''} = 1$ や $T^{''} = - 1$ としてしまう誤り。正しくは $D T^{''} = - 1$ で、両端吸収の区間 $[0, L]$ なら $T (x) = \frac{x ( L - x )}{2 D}$ （ $D$ で割るのを忘れない）。
積分因子の指数の符号を誤り $e^{+ U / k_{B} T}$ を掛けてしまう誤り。正しくは $(e^{- U / k_{B} T} T^{'})^{'} = - \frac{1}{D} e^{- U / k_{B} T}$ で、 $T^{'}$ を求めるときに $e^{+ U / k_{B} T}$ が現れる。障壁が高いほど $T$ が指数関数的に長くなるのはこの因子による。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $0 \leq x \leq L$ （ $L > 0$ ）の上を、外力を受けずに（ポテンシャル $U (x) = 0$ ）拡散係数 $D > 0$ で 1 次元の過減衰ブラウン運動をする粒子がある。 $x = 0$ は反射壁、 $x = L$ は吸収壁であり、粒子は $x = L$ に初めて到達した時点で区間から出るものとする。
時刻 $0$ に粒子が位置 $x = x_{0}$ （ $0 \leq x_{0} \leq L$ ）にあったとき、粒子が $x = L$ に初めて到達するまでの平均時間 $T (x_{0})$ を、 $x_{0}$ , $L$ , $D$ を用いて表せ。
ただし、平均初到達時間 $T (x)$ は後ろ向き方程式
$D T^{''} (x) - \frac{U ^{'} ( x )}{γ} T^{'} (x) = - 1$
に従う（ $γ$ は摩擦係数）。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
温度 $T$ の熱浴中で、直線上を運動する過減衰ブラウン粒子の位置 $x$ が、ランジュバン方程式
$γ \frac{d x}{d t} = - U^{'} (x) + ξ (t), ⟨ ξ (t)⟩ = 0, ⟨ ξ (t) ξ (t^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - t^{'})$
に従うとする。ここで $γ > 0$ は摩擦係数、 $ξ (t)$ はガウス白色雑音、ポテンシャルは $U (x) = f ∣ x ∣$ （ $f > 0$ は定数）であり、拡散係数を $D = k_{B} T / γ$ とする。
まず、 $x = \pm L$ （ $L > 0$ ）に反射壁を置いたところ、確率密度は時間がたつと定常分布 $p_{s} (x)$ に収束し、
$\frac{p _{s} ( 0 )}{p _{s} ( L )} = e^{3}$
であった。
次に、同じ $f, T, γ$ のもとで $x = \pm L$ の壁を吸収壁に替え、粒子を時刻 $0$ に $x_{0} = L /3$ に置く。粒子が初めて $∣ x ∣ = L$ に到達するまでの平均時間（平均初到達時間）を、 $L$ と $D$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

クラマースの脱出率（大学院物理非平衡統計力学）