条件付き分布と全期待値の公式

条件付き分布・条件付き期待値を求め、 $E (X) = E (E (X ∣ Y))$ を使って期待値を計算できる

前提

同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
条件付き確率と乗法定理（数学A 場合の数と確率）

説明

ある確率変数 $Y$ の値がわかったときに、別の確率変数 $X$ がどう分布するか（条件付き分布）と、その平均（条件付き期待値）を求められるようになります。さらに、条件付き期待値を $Y$ の分布で平均し直すと $X$ の期待値になる、という全期待値の公式 $E (X) = E (E (X ∣ Y))$ を使えるようになります。「まずサイコロを振り、その目の数だけコインを投げる」のように、段階を踏んで決まる確率変数の期待値を計算するときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

離散の場合で考えます。 $P (Y = y) > 0$ となる $y$ について、条件付き確率の定義から、 $Y = y$ のもとでの $X$ の条件付き分布は $P (X = x ∣ Y = y) = \frac{P ( X = x , Y = y )}{P ( Y = y )}$ です。これを $x$ について足すと、周辺分布の式 $\sum_{x} P (X = x, Y = y) = P (Y = y)$ より $1$ になります。つまり、これは確かに 1 つの確率分布です。この分布での平均 $g (y) = E (X ∣ Y = y) = \sum_{x} x P (X = x ∣ Y = y)$ を条件付き期待値といいます。さらに $y$ に確率変数 $Y$ を入れた $g (Y)$ を $E (X ∣ Y)$ と書きます。これは数ではなく、 $Y$ の値に応じて値が変わる確率変数です。

全期待値の公式は、乗法定理 $P (X = x, Y = y) = P (Y = y) P (X = x ∣ Y = y)$ と、和の順序の入れ替えから導けます： $E (X) = x \sum x y \sum P (Y = y) P (X = x ∣ Y = y) = y \sum P (Y = y) x \sum x P (X = x ∣ Y = y) = y \sum g (y) P (Y = y) = E (g (Y)) .$ ここで和の順序を入れ替えてよいのは、 $E (X)$ が存在する、すなわち $\sum_{x} ∣ x ∣ P (X = x) < \infty$ （絶対収束）という仮定があるからです。 $X$ のとる値が有限個のときや、 $X \geq 0$ のときも入れ替えは問題ありません（ $X \geq 0$ なら両辺が $\infty$ になる場合も含めて等式が成り立ちます）。直観的には、「 $Y$ の値ごとに場合分けして各場合の平均を出し、それをその場合の起こりやすさ $P (Y = y)$ で重み付けして平均する」ということです。

連続の場合も考え方は同じです。同時密度 $f (x, y)$ と周辺密度 $f_{Y} (y)$ について、 $f_{Y} (y) > 0$ となる $y$ で条件付き密度を $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}$ と定めます。和を積分に置き換え、累次積分の順序を入れ替えると $E (X) = \int g (y) f_{Y} (y) d y$ （ただし $g (y) = \int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x$ ）が得られます。この場合も、積分の順序を入れ替えるために $\iint ∣ x ∣ f (x, y) d x d y < \infty$ （ $E (X)$ の存在）を仮定します。

手順

値がわかると $X$ の様子が簡単になる確率変数 $Y$ を選び、その分布 $P (Y = y)$ （または密度 $f_{Y} (y)$ ）を求める。
$P (Y = y) > 0$ となる各 $y$ について、条件付き分布 $P (X = x ∣ Y = y) = \frac{P ( X = x , Y = y )}{P ( Y = y )}$ （連続なら $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}$ ）を求める。問題文から直接わかることも多い。
条件付き期待値 $g (y) = E (X ∣ Y = y) = \sum_{x} x P (X = x ∣ Y = y)$ （連続なら $\int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x$ ）を計算する。
$y$ を $Y$ に置き換えて、確率変数 $E (X ∣ Y) = g (Y)$ をつくる。
$E (X)$ が存在すること（値が有限個、 $X \geq 0$ 、または絶対収束）を確かめ、全期待値の公式 $E (X) = E (g (Y)) = \sum_{y} g (y) P (Y = y)$ （連続なら $\int g (y) f_{Y} (y) d y$ ）で $E (X)$ を求める。

例題

公正なサイコロを 1 回振り、出た目を $Y$ とする。続けて、公正なコインを $Y$ 枚投げ、表が出た枚数を $X$ とする。 $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $Y$ はサイコロの目なので、 $y = 1, 2, \dots, 6$ に対して $P (Y = y) = \frac{1}{6}$ です。

手順 2： $Y = y$ のとき、 $y$ 枚のコインの表裏の出方は全部で $2^{y}$ 通りあり、どれも同様に確からしいです。そのうち表がちょうど $k$ 枚になるのは、表になるコインの選び方の $(k y)$ 通りです。よって $P (X = k ∣ Y = y) = \frac{( k y )}{2 ^{y}}$ （ $k = 0, 1, \dots, y$ ）です。

手順 3： $Y = y$ のもとで、 $i$ 枚目が表なら 1、裏なら 0 をとる確率変数を $I_{i}$ とすると、 $X = I_{1} + \dots + I_{y}$ です。 $E (I_{i}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ で、和の期待値は期待値の和なので、 $g (y) = E (X ∣ Y = y) = \frac{y}{2}$ です。

手順 4： $y$ を $Y$ に置き換えて、 $E (X ∣ Y) = \frac{Y}{2}$ です。

手順 5： $X$ のとる値は $0, 1, \dots, 6$ の有限個なので、 $E (X)$ は存在します。全期待値の公式より $E (X) = E (\frac{Y}{2}) = \frac{1}{2} E (Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{4} .$

答え: $\frac{7}{4}$

よくある誤り

条件付き期待値を重み付けせずに単純平均してしまう誤り。例えば $P (Y = 1) = \frac{1}{3}, P (Y = 2) = \frac{2}{3}$ のとき、 $E (X) = \frac{E ( X ∣ Y = 1 ) + E ( X ∣ Y = 2 )}{2}$ とするのは誤り。正しくは $E (X) = \frac{1}{3} E (X ∣ Y = 1) + \frac{2}{3} E (X ∣ Y = 2)$ と、 $P (Y = y)$ で重み付けする。
$E (g (Y))$ を $g (E (Y))$ で計算してしまう誤り。 $g (y) = a y + b$ のような 1 次式なら $E (g (Y)) = a E (Y) + b = g (E (Y))$ が成り立つが、一般には成り立たない。例えば $E (X ∣ Y) = Y^{2}$ のとき、正しくは $E (X) = E (Y^{2})$ である。 $E (Y^{2}) - (E (Y))^{2} = V (Y) \geq 0$ より $E (Y^{2}) \geq (E (Y))^{2}$ で、等号が成り立つのは $V (Y) = 0$ 、つまり $Y$ が確率 1 で定数のときに限る。
条件付き密度で $f_{Y} (y)$ で割るのを忘れ、 $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = f (x, y)$ としてしまう誤り。正しくは $f_{Y} (y) > 0$ の $y$ について $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}$ である。 $\int f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x = 1$ となるかどうかで検算できる。
$E (X ∣ Y)$ を 1 つの数だと思ってしまう誤り。 $E (X ∣ Y = y) = g (y)$ は $y$ の関数であり、 $E (X ∣ Y) = g (Y)$ は $Y$ によって値が変わる確率変数である。例題では $E (X ∣ Y) = \frac{Y}{2}$ であって、 $\frac{7}{4}$ ではない（ $\frac{7}{4}$ はそれをさらに平均した $E (X)$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

到達確率と平均到達時間（大学数学確率・統計）
共役事前分布とベイズ推定（大学数学数理統計）
σ 加法族に関する条件付き期待値（大学院数学確率論）
乱択クイックソート・乱択選択の期待比較回数（大学数学アルゴリズムと計算量）