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確率・統計の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学確率・統計

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$f_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} 0 (x > 0) (x \leq 0)$
で与えられている。 $X = x$ $(x > 0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = {x e^{- x y} 0 (y > 0) (y \leq 0)$
であるとする。 $X$ と $Y$ の相関係数 $ρ (X, Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
条件付き分布と全期待値の公式（説明と入口の問題）
確率変数の共分散と相関係数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$Y$ の周辺分布を直接求めなくても、条件付き期待値を通して $E [Y]$ , $E [Y^{2}]$ , $E [X Y]$ を計算できる。

ヒント 2

$X = x$ のもとで $Y$ は率 $x$ の指数分布なので $E [Y ∣ X] = 1/ X$ , $E [Y^{2} ∣ X] = 2/ X^{2}$ 。また $E [X Y] = E [X E [Y ∣ X]]$ を使う。

ヒント 3

$E [X] = 3$ , $V (X) = 3$ , $E [1/ X] = E [1/ X^{2}] = 1/2$ より $E [Y] = 1/2$ , $E [Y^{2}] = 1$ , $E [X Y] = 1$ となる。あとは共分散と分散を組み合わせる。

答えと解説

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- \frac{1}{3}

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解説を読む

$X$ の平均・分散

$X$ はガンマ分布（形状 $3$ 、尺度 $1$ ）に従う。 $\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = Γ (k + 1) = k!$ を用いると
$E [X] = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- x} d x = \frac{3 !}{2} = 3, E [X^{2}] = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{4} e^{- x} d x = \frac{4 !}{2} = 12,$
よって $V (X) = 12 - 9 = 3$ 。

また、のちに使う負の次数のモーメントは
$E [\frac{1}{X}] = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x = \frac{1}{2}, E [\frac{1}{X ^{2}}] = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = \frac{1}{2} .$

条件付き期待値

$X = x$ のもとで $Y$ はパラメータ（率） $x$ の指数分布に従うから
$E [Y ∣ X = x] = \frac{1}{x}, E [Y^{2} ∣ X = x] = \frac{2}{x ^{2}} .$
すなわち $E [Y ∣ X] = \frac{1}{X}$ 、 $E [Y^{2} ∣ X] = \frac{2}{X ^{2}}$ 。

$Y$ の平均・分散（繰り返し期待値の法則 $E [Y] = E [E [Y ∣ X]]$ を使う）
$E [Y] = E [\frac{1}{X}] = \frac{1}{2}, E [Y^{2}] = E [\frac{2}{X ^{2}}] = 1,$
よって $V (Y) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。

（確認： $Y$ の周辺密度は $f_{Y} (y) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} x^{3} e^{- (1 + y) x} d x = \frac{3}{( 1 + y ) ^{4}}$ $(y > 0)$ であり、 $\int_{0}^{\infty} \frac{3 y}{( 1 + y ) ^{4}} d y = 3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$ と一致する。）

共分散

$X$ は $X$ の関数なので条件付き期待値の外に出せて
$E [X Y] = E [X E [Y ∣ X]] = E [X \cdot \frac{1}{X}] = 1.$
したがって
$Cov (X, Y) = E [X Y] - E [X] E [Y] = 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} .$

相関係数
$ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{V ( X ) V ( Y )} = \frac{- \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{3} .$

別解

$X \sim Gamma (3, 1)$ なので $E [X] = 3$ 、 $Var (X) = 3$ 。 $X = x$ のもとで $Y$ は率 $x$ の指数分布なので、 $E [Y ∣ X] = 1/ X$ 、 $E [Y^{2} ∣ X] = 2/ X^{2}$ 。

$E [Y] = E [1/ X] = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x = \frac{1}{2}$ 。

$E [Y^{2}] = 2 E [1/ X^{2}] = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} e^{- x} d x = 1$ 。よって $Var (Y) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。

$E [X Y] = E [X E [Y ∣ X]] = E [1] = 1$ 。よって $Cov (X, Y) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ 。

$ρ = \frac{- 1/2}{3 \cdot 3/4} = \frac{- 1/2}{3/2} = - \frac{1}{3}$ 。

検算: $3 \cdot 3/4 = 3/2$ であり、共分散の符号は、 $X$ が大きいほど $Y$ の平均 $1/ X$ が小さくなることと整合する。

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