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確率・統計の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学確率・統計

確率変数 $X$ の特性関数 $φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]$ が
$φ_{X} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 2 t sin t}{2 t ^{2}} 1 (t \neq = 0) (t = 0)$
で与えられている（ $t$ は実数）。確率 $P (∣ X ∣ \leq \frac{3}{2})$ を求めよ。

この問題で使うもの

特性関数（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
独立な確率変数の和の分布（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（91 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

区間 $(- a, a)$ 上の一様分布の特性関数を計算し、与えられた特性関数をそのような特性関数の積として表してみよう。

ヒント 2

$φ_{X} (t) = \frac{sin 2 t}{2 t} \cdot \frac{sin t}{t}$ である。独立な確率変数の和の特性関数は積になること、および特性関数の一意性定理を使う。

ヒント 3

$X$ は、互いに独立な $V \sim$ 一様 $(- 2, 2)$ と $U \sim$ 一様 $(- 1, 1)$ の和と同じ分布をもつ。たたみ込みで密度を求めると、 $∣ x ∣ \leq 1$ で $\frac{1}{4}$ 、 $1 \leq ∣ x ∣ \leq 3$ で $\frac{3 - ∣ x ∣}{8}$ になる。

答えと解説

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\frac{23}{32}

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解説を読む

一様分布の特性関数

$a > 0$ とし、区間 $(- a, a)$ 上の一様分布に従う確率変数 $U_{a}$ を考える。その特性関数は
$E [e^{i t U_{a}}] = \frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} e^{i t x} d x = \frac{1}{2 a} \cdot \frac{e ^{ia t} - e ^{- ia t}}{i t} = \frac{sin a t}{a t} (t \neq = 0)$
であり、 $t = 0$ のときは $1$ である。

特性関数の分解

与えられた特性関数は、 $t \neq = 0$ のとき
$φ_{X} (t) = \frac{sin 2 t}{2 t} \cdot \frac{sin t}{t}$
と分解できる。 $t = 0$ でも両辺はともに $1$ である。

$V$ を $(- 2, 2)$ 上の一様分布、 $U$ を $(- 1, 1)$ 上の一様分布に従う確率変数とし、互いに独立とする。独立な確率変数の和の特性関数は、それぞれの特性関数の積になる。よって
$φ_{U + V} (t) = \frac{sin t}{t} \cdot \frac{sin 2 t}{2 t} = φ_{X} (t)$
が成り立つ。特性関数は分布を一意に定める（一意性定理）ので、 $X$ は $U + V$ と同じ分布に従う。

密度関数（たたみ込み）

$U$ の密度は $(- 1, 1)$ 上で $\frac{1}{2}$ 、 $V$ の密度 $f_{V}$ は $(- 2, 2)$ 上で $\frac{1}{4}$ である。したがって
$f_{X} (x) = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} f_{V} (x - u) d u$
となる。 $f_{X}$ は $x$ について偶関数なので、 $x \geq 0$ の場合だけ調べればよい。

$0 \leq x \leq 1$ のとき： $u \in [- 1, 1]$ ならば $x - u \in [x - 1, x + 1] \subset [- 2, 2]$ である。よって $f_{X} (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{4}$ 。
$1 \leq x \leq 3$ のとき： $x - u \leq 2$ 、すなわち $u \geq x - 2$ が必要なので、積分区間は $[x - 2, 1]$ （長さ $3 - x$ ）となる。よって $f_{X} (x) = \frac{1}{8} (3 - x)$ 。
$x > 3$ のとき： $f_{X} (x) = 0$ 。

検算として全確率を計算すると
$2 (\frac{1}{4} \cdot 1 + \int_{1}^{3} \frac{3 - x}{8} d x) = 2 (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 1$
となり、正しい。

確率の計算

$P (X > \frac{3}{2}) = \int_{3/2}^{3} \frac{3 - x}{8} d x = [- \frac{( 3 - x ) ^{2}}{16}]_{3/2}^{3} = \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{64}$

対称性より $P (X < - \frac{3}{2}) = \frac{9}{64}$ でもある。したがって
$P (∣ X ∣ \leq \frac{3}{2}) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \frac{23}{32}$

答えは $\frac{23}{32}$ である。

別解

$\frac{sin 2 t}{2 t}$ は $U \sim U (- 2, 2)$ の特性関数、 $\frac{sin t}{t}$ は $V \sim U (- 1, 1)$ の特性関数である。したがって $φ_{X} (t)$ は、独立な $U, V$ の和 $U + V$ の特性関数に等しい。特性関数は分布を一意に定めるので、 $X$ は $U + V$ と同じ分布に従う。

密度は $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot ∣ [x - 1, x + 1] \cap [- 2, 2] ∣$ で与えられる。
- $∣ x ∣ \leq 1$ のとき、重なりの長さは 2 なので $f (x) = \frac{1}{4}$ 。
- $1 \leq ∣ x ∣ \leq 3$ のとき、重なりの長さは $3 - ∣ x ∣$ なので $f (x) = \frac{3 - ∣ x ∣}{8}$ 。
- $∣ x ∣ > 3$ のとき、 $f (x) = 0$ 。

全体の積分は $\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1$ となり、密度として正しい。

求める確率は
$P (∣ X ∣ \leq \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \int_{1}^{3/2} \frac{3 - x}{8} d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} [3 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{3/2} .$
角括弧の値は $(\frac{9}{2} - \frac{9}{8}) - (3 - \frac{1}{2}) = \frac{27}{8} - \frac{20}{8} = \frac{7}{8}$ 。
よって $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{7}{32} = \frac{23}{32}$ 。

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