確率変数の期待値・分散と $aX+b$

$3$ 枚の硬貨を同時に $1$ 回投げ、表が出た枚数を $X$ とする。確率変数 $Y=4X-1$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

3 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $X$ とする。確率変数 $Y$ を $Y=4X-3$ で定めるとき、$Y$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

$1,2,3,4$ の数字が $1$ つずつ書かれた正四面体のさいころがある。このさいころを $1$ 回投げ、底面に書かれた数を $X$ とする。確率変数 $Y=-2X+5$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。ただし、どの面が底面になることも同様に確からしいものとする。

袋 A には $1,3,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが、袋 B には $2,4$ の数字が 1 つずつ書かれた 2 枚のカードが入っている。袋 A から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、袋 B から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。2 つの袋からの取り出しは互いに影響しないものとする。このとき、確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

箱の中に、$2,4,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが入っている。この箱から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に 1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $Y$ とする。カードを取り出す試行とさいころを投げる試行は独立であるとする。確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

$1,2,3,4$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入った袋から $1$ 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に $1$ 枚の硬貨を $1$ 回投げ、表が出たら $Y=1$、裏が出たら $Y=0$ とする。このとき、確率変数 $X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求めよ。

1 個のさいころを 90 回投げるとき、3 の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y=2X-5$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

1個のさいころを $90$ 回投げるとき、$1$ の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y=2X+5$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしいものとする。

1 個のさいころを $450$ 回投げるとき、$3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y=3X-100$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の試行は互いに独立であるものとする。

袋の中に、数字 $1$ が書かれた札が $1$ 枚、数字 $2$ が書かれた札が $2$ 枚、数字 $3$ が書かれた札が $1$ 枚、合計 $4$ 枚の札が入っている。この $4$ 枚の札を母集団とし、札に書かれた数字を変量とする。この袋から札を $1$ 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すという操作を $8$ 回くり返す。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $\overline{X}$ とするとき、$\overline{X}$ の標準偏差 $\sigma (\overline{X})$ を求めよ。ただし、どの札も取り出される確率は等しいものとする。

袋の中に、$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この 5 枚のカードを母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この袋から 1 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $\bar{X}$ とするとき、$\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma (\bar{X})$ を求めよ。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。

確率変数 $X,Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、その同時分布は次の表で与えられている。

$$\begin{array}{ccc}& Y=0& Y=1\\ X=0& \frac{2}{5}& \frac{1}{10}\\ X=1& \frac{1}{5}& \frac{3}{10}\end{array}$$

共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ を利用して、分散 $V(2X+Y)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ はそれぞれ $0$ または $1$ の値をとり、その同時確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求め、それを用いて分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。答えとして $V(2X-Y)$ の値を答えよ。

確率変数 $X,Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、同時分布が次のように与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を用いて、分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。次に、$1$ から $Y$ までの整数が 1 つずつ書かれた $Y$ 枚のカードから 1 枚を無作為に取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。続いて、$1$ から $Y$ までの $Y$ 個の整数の中から 1 つを等しい確率で選び、選んだ整数を $X$ とする。たとえば $Y=3$ のときは、$1,2,3$ のどれかがそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $Y$ は値 $1,2,3$ をとり、その確率は
$$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{3},P(Y=3)=\frac{1}{6}$$
である。$Y=y$ $(y=1,2,3)$ が与えられたとき、確率変数 $X$ の条件付き分布は、$1$ から $2y$ までの整数 $1,2,\dots ,2y$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{2y}$ でとる分布である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。

$$\begin{array}{ccccc}X& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{6}& 1\end{array}$$

$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$（$t$ は実数）を求め、それを微分して $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の順の組で答えよ。

確率変数 $X$ は値 $1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ でとる。$X$ の積率母関数 $M(t)=E\left(e^{tX}\right)$（$t$ は実数）を用いて、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ をこの順に求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{1}{6}$$
$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$ を求め、それを微分することで、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の組で答えよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$k$ 回目に出た目を $X_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とする。$n$ は正の整数であり、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の各値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるものとする。標本平均を
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

チェビシェフの不等式
$$P\left(\left|\bar{X}-E(\bar{X})\right|\ge \epsilon \right)\le \frac{V(\bar{X})}{{\epsilon }^2}(\epsilon >0)$$
を $\epsilon =\frac{1}{2}$ として用いると、$P\left(\left|\bar{X}-\frac{7}{2}\right|\ge \frac{1}{2}\right)$ の上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が得られ、これは $n\to \infty$ で $0$ に近づく（大数の弱法則）。この上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が $0.01$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$i$ 回目に出た目を $X_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の目が同様に確からしく出るものとする。
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。このとき、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\geqq \epsilon \right)=0$$
が成り立つような定数 $c$ がただ 1 つ存在する。$c$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも同じ確率分布に従う確率変数であり、$E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする（$\mu$, ${\sigma }^2$ はともに未知の定数で、${\sigma }^2>0$）。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

$n$ だけで決まる定数 $c$ を用いて
$$T=c\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。$\mu$, ${\sigma }^2$ の値によらず $E(T)={\sigma }^2$ が成り立つ（$T$ が ${\sigma }^2$ の不偏推定量となる）ような $c$ を、$n$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数（未知の母数）とします。$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数です。各 $X_i$ について
$$E(X_i)=\frac{\theta }{2},V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$$
が成り立つことを用いてかまいません。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{2}{5}\left(X_1+X_2+X_3+X_4\right)$$
を考えます。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\theta {)}^2\right]$ を $\theta$ の式で求めてください。

$X_1,X_2,X_3,X_4$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ を用いて表せ。

$\theta$ を正の実数とし、$X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ は互いに独立に、区間 $[0,\theta ]$ 上の一様分布に従う確率変数とする。各 $X_i$ の期待値は $E(X_i)=\frac{\theta }{2}$、分散は $V(X_i)=\frac{{\theta }^2}{12}$ である。$\theta$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}{3}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left((T-\theta {)}^2\right)$ を $\theta$ を用いて表せ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、各 $X_k$ は $\{1,2,3,4,5,6\}$ 上の一様分布に従う（公正なさいころの出た目）とする。
$$S_0=0,S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n(n\ge 1)$$
とおき、${\mathcal{F}}_0=\{\varnothing ,\Omega \}$、${\mathcal{F}}_n=\sigma (X_1,\dots ,X_n)$ $(n\ge 1)$ とする。実数の定数 $a,b$ に対して
$$M_n=(S_n-an{)}^2-bn(n\ge 0)$$
と定める。$(M_n{)}_{n\ge 0}$ がフィルトレーション $({\mathcal{F}}_n{)}_{n\ge 0}$ に関するマルチンゲールとなるような $a,b$ の組を求め、$(a,b)$ の形で答えよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、$0\le s<t$ に対して増分 $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従い、重ならない区間の増分は互いに独立である。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち、増分は独立かつ定常で、$0\le s<t$ に対して $B_t-B_s$ は正規分布 $N(0,t-s)$ に従う。
$$X=3B_1-2B_2+B_4$$
とおくとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の、$W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=2X_{t}dt+X_{t}d{W}_t,X_0=1$$
の解とする。$T=\log 2$ のとき、分散 $V(X_T)$ の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=X_{t}dt+2X_{t}d{W}_t,X_0=3$$
の解とする。$T=\log 2$ のとき、分散 $V(X_T)$ を求めよ。

$r=\frac{1}{2}\log 5$ とする。関数 $u(t,x)$ $(0\le t\le 2,x\in \mathbb{R})$ は $[0,2]\times \mathbb{R}$ 上で連続、$[0,2)\times \mathbb{R}$ 上で $t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能であり、ある定数 $C>0$ に対して $|u(t,x)|\le C(1+|x{|}^3)$ を満たす。さらに $u$ は終端値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-ru=0(0\le t<2,x\in \mathbb{R}),u(2,x)=x^3$$
の解であるとする。ファインマン・カッツの公式を用いて $u(0,1)$ の値を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

袋の中に $1$ から $6$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち小さい方を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $n$ 回繰り返す（$n$ は正の整数）。赤玉が出た回数を $X$ とする。$X$ の分散が $V(X)=6$ であるとき、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を求めよ。

1 から 5 までの整数が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが袋に入っている。この袋から同時に 2 枚のカードを取り出し、書かれた 2 つの数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y=-3X+7$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げて出た目を $X$ とする。また、$1,2,2,3$ の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが入った袋から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。さいころを投げる試行とカードを取り出す試行は互いに独立であるとする。このとき、確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $25$ 回繰り返す。赤玉を取り出すたびに $3$ 点を得て、白玉を取り出すたびに $1$ 点を失う。$25$ 回の試行を終えたときの合計得点を $Y$ とする（$Y$ は負の値もとりうる）。このとき、$Y^2$ の期待値 $E(Y^2)$ を求めよ。

袋の中に、$1$ から $6$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち大きい方を $X$ とする。確率変数 $Y=3X+1$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの数字が 1 つずつ書かれた $6$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた $2$ つの数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。これとは別に 1 枚の硬貨を 2 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $XY$ の分散 $V(XY)$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。1 回投げるごとに、3 の倍数の目が出たら得点に $3$ 点を加え、それ以外の目が出たら得点から $1$ 点を引く（得点のはじめの値は $0$ 点とする）。$n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。$S$ の分散が $320$ であるとき、$S^2$ の期待値 $E(S^2)$ を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

袋の中に、$1$ と書かれたカードが $1$ 枚、$2$ と書かれたカードが $2$ 枚、$3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合わせて $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数の和を $X$ とする。確率変数 $Y=3X-5$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。

1 から 6 までの数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが箱に入っている。この箱から 2 枚のカードを同時に取り出し、2 枚に書かれた数の差（大きい方から小さい方を引いた値）を $X$ とする。確率変数 $3X-1$ の分散 $V(3X-1)$ を求めよ。

確率変数 $X$ はパラメータ $1$ のポアソン分布に従う。すなわち
$$P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
である。確率変数 $Y=2^X$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E\left[e^{tX}\right]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

$X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ は互いに独立に、成功確率 $p$ のベルヌーイ分布 $P(X_i=1)=p,P(X_i=0)=1-p$ に従う確率変数とする（$0<p<1$）。$p$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_{10}+1}{12}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-p{)}^2\right]$ を $p$ の式で求めよ。

$X_1,X_2,X_3$ は互いに独立で、いずれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ をもつ同じ分布に従う確率変数とする（$\mu$ は実数、$\sigma >0$）。$\mu$ の推定量として
$$T=\frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$$
を考える。$T$ の平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T)=E\left[(T-\mu {)}^2\right]$ を $\mu ,\sigma$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$X=B_1{B}_2{B}_3$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の 1 次元標準ブラウン運動とする。すなわち $B_0=0$ であり、すべての $\omega$ で $t\mapsto B_t(\omega )$ は連続、$0\le t_0<t_1<\cdots <t_k$ に対して増分 $B_{t_1}-B_{t_0},\dots ,B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$ は独立で、$B_t-B_s(s<t)$ は平均 $0$、分散 $t-s$ の正規分布に従う。

$T>0$ を定数とし、
$$Y={\int }_0^T{B}_t^{2}dt$$
（各 $\omega$ ごとのリーマン積分）とおく。このとき
$$\mathrm{Var}(Y)=\frac{T^4}{3}$$
であることを証明せよ。

なお、平均 $0$、分散 ${\sigma }^2$ の正規分布に従う確率変数 $Z$ について $E[Z^4]=3{\sigma }^4$ であること、およびフビニ・トネリの定理は用いてよい。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数とする（$\mu$ は未知の実数、${\sigma }^2>0$ は未知の母数）。
$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。このとき $S/{\sigma }^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従い、その平均は $n-1$、分散は $2(n-1)$ であることを用いてよい。

正の定数 $c$ に対して、${\sigma }^2$ の推定量 $T_c=cS$ を考える。平均二乗誤差 $\mathrm{MSE}(T_c)=E\left[(T_c-{\sigma }^2{)}^2\right]$ を、すべての $\mu$, ${\sigma }^2$ に対して最小にする $c$ を $n$ の式で求めよ。

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy& (0<x<y<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$ を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、
$$Y={\int }_0^1{B}_t^{2}dt-\frac{1}{2}{B}_1^2$$
とおく（積分は各標本点でのリーマン積分とする）。$Y$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ $1,2,3,4,5,6$ の値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるもの（公正なさいころの出る目）とする。正の整数 $m$ に対して $S_m=X_1+X_2+\cdots +X_m$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(S_n>\frac{7n}{2}\text{かつ}{S}_{4n}>14n\right)$$
を求めよ。

数直線上の原点に点 $\mathrm{P}$ がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら $\mathrm{P}$ を正の向きに $3$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $\mathrm{P}$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この操作を $36$ 回繰り返した後の $\mathrm{P}$ の座標を $Z$ とする。確率変数 $Z^2$ の期待値 $E(Z^2)$ を求めよ。

箱の中に $1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この箱から同時に 2 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち大きい方を $X$ とする。確率変数 $Y=3X+1$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、得点 $Z$ を
$$Z=X(Y+1)$$
と定める。確率変数 $Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

袋の中に $1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋から同時に 2 枚のカードを取り出し、取り出した 2 枚のカードに書かれた数のうち大きい方から小さい方を引いた値を $D$ とする。さらに、得点 $Y$ を $Y=3D+2$ で定める。確率変数 $Y$ の標準偏差を求めよ。

袋の中に、$1$ と書かれたカードが $1$ 枚、$2$ と書かれたカードが $2$ 枚、$3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合計 $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出した $2$ 枚に書かれた数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y=5X+1$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $4$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さず、白玉がはじめて取り出された時点で操作を終える。操作を終えるまでに取り出した玉の個数（最後に取り出した白玉も含める）を $X$ とする。確率変数 $3X+2$ の標準偏差 $\sigma (3X+2)$ を求めよ。

箱の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この箱から玉を $1$ 個ずつ取り出していき（取り出した玉は箱に戻さない）、$2$ 個目の赤玉が取り出された時点で操作を終了する。終了するまでに取り出した玉の個数（$2$ 個目の赤玉も含む）を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

表が出る確率が $p$ である硬貨がある。ただし、$p$ は $0<p<1$ を満たす定数とする。この硬貨を $n$ 回投げ、表が出るたびに得点を $1$ 点加え、裏が出るたびに得点から $1$ 点を引く（得点のはじめの値は $0$ 点とする）。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。確率変数 $S$ の期待値が $12$、分散が $45$ であるとき、$n$ の値を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $3$ で割った余りを $X$ とする。また、これとは別に 1 枚の硬貨を $3$ 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $Z$ を
$$Z=XY+X-Y$$
と定めるとき、$Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、$P({\epsilon }_k=1)=P({\epsilon }_k=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすものとし、
$$Z=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{{\epsilon }_k}{3^k}$$
とおく（この級数は各標本点で絶対収束する）。$Z$ の特性関数 ${\phi }_Z(t)=E\left[e^{itZ}\right]$ を無限積で表し、それを用いて $4$ 次モーメント $E\left[Z^4\right]$ を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ平均 $1$ の指数分布（密度関数 $e^{-x}$ $(x>0)$）に従うものとする。正の整数 $n$ に対して
$$A_n=\sum _{k=1}^n(X_k-1),B_n=\sum _{k=1}^n(X_k^2-2)$$
とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(A_n>0\text{かつ}{B}_n>0\right)$$
を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は同じ確率空間上で定義され、それぞれ有限個の値しかとらないとする。$X$ のとりうる値全体の集合を $S$、$Y$ のとりうる値全体の集合を $T$ とし（$S,T$ は有限集合）、すべての $x\in S$ に対して $P(X=x)>0$ とする。$x\in S$ に対して、$X=x$ のもとでの $Y$ の条件付き期待値を
$$E[Y\mid X=x]=\sum _{y\in T}y\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}$$
で定める。また、$X$ の分散 $V(X)$ は正であるとする。

ある実数 $a,b$ が存在して、すべての $x\in S$ に対して
$$E[Y\mid X=x]=a+bx$$
が成り立つとき、
$$b=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V(X)},a=E[Y]-bE[X]$$
であることを証明せよ。ただし $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$、$V(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2$ であり、期待値の線形性は用いてよい。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうち $3$ の倍数の目が出た回数を $X$ とし、確率変数 $Y$ を $Y=X\cdot 2^X$ で定める。$Y$ の分散 $V(Y)$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを無作為に横一列に並べる。$1\leqq i\leqq n-1$ を満たす整数 $i$ のうち、$i$ と書かれたカードと $i+1$ と書かれたカードが隣り合っている（順序は問わない）ものの個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

$n$ は $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを、無作為に横一列に並べる。左から $k$ 番目のカードに書かれた数を $a_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とし、$1\leqq k\leqq n-1$ を満たす整数 $k$ のうち $a_{k+1}=a_k+1$ となるものの個数を $X$ とする（例えば、$n=5$ で $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,4,5,1,2)$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とする。$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $n$ 回投げる。各回の結果は互いに独立とする。出た目の種類の数（$n$ 回のうち少なくとも $1$ 回出た目の個数）を $D$ とするとき、$D$ の分散 $V(D)$ を $n$ の式で表せ。

最小表示（分解能）が $d=1\mathrm{mV}$ のデジタル電圧計がある。この電圧計は入力電圧 $x$ を、$d$ の整数倍のうち $x$ に最も近い値に丸めて表示する（$x$ がちょうど隣り合う 2 つの整数倍の中点になる場合は確率 $0$ なので考えなくてよい）。電圧計自身の雑音は無視できる。

真の値 $V$ が一定の電圧を測定する。$V$ の値は未知である。このままでは何回測定しても同じ表示しか得られず、平均をとっても分解能より細かい情報は得られない。そこで、$i$ 回目（$i=1,2,\dots ,n$）の測定では、区間 $[-d/2,d/2]$ 上の一様分布に従う電圧 $U_i$ を $V$ に加えた $V+U_i$ を電圧計に入力し、その表示を $y_i$ とする（ディザ法）。$U_1,U_2,\dots ,U_n$ は互いに独立であり、各回の加算そのものの誤差はない。

$n$ 回の表示の平均を $\bar{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$ とする。$V$ がどのような値であっても $\bar{y}$ の標準偏差が $0.03\mathrm{mV}$ 以下になることを保証する、最小の正の整数 $n$ を求めよ。

表と裏が出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を $n$ 回投げる。ただし $n$ は正の整数とする。$k=1,2,\dots ,n$ に対して、$k$ 回目に表が出たとき $X_k=1$、裏が出たとき $X_k=2$ と定める。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_n,T=X_1{X}_2\cdots X_n$$
とおくとき、確率変数 $S^{2}T$ の期待値 $E(S^{2}T)$ を $n$ の式で求めよ。

1個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。ただし、$n$ は正の整数とする。1回投げるごとに、3の倍数の目が出れば得点が $4$ 点増え、それ以外の目が出れば得点が $1$ 点減る。得点は最初 $0$ 点である。$n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。

$n$ を動かすとき、$E\left((S-10{)}^2\right)$ の最小値を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（たとえば $n=4$ で出た目が順に $2,5,2,6$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうち $1$ の目が出た回数を $X$、偶数の目が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $XY$ の期待値 $E(XY)$ を $n$ の式で求めよ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。この操作を $7$ 個の玉をすべて取り出すまで続ける。$k=1,2,\dots ,6$ のうち、$k$ 番目に取り出した玉と $(k+1)$ 番目に取り出した玉の色が異なるような $k$ の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$ を $T=c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき $T$ の分散 $V(T)$ を $n,\theta$ を用いて表せ。