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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

袋の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この 5 枚のカードを母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この袋から 1 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X ˉ$ とするとき、 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。

この問題で使うもの

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）
標本平均の分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず、カードを 1 枚取り出したときの数字 $X$ の分布（母集団分布）から、母平均 $m$ と母標準偏差 $σ$ を求めましょう。

ヒント 2

母分散は $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求められます。標本平均の標準偏差は $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ です。

ヒント 3

$m = 3$ , $E (X^{2}) = 11$ なので母分散は $2$ です。あとは $n = 8$ として $\frac{σ}{n}$ を計算します。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

手順1：母集団分布を調べる。
1 枚取り出したときの数字を $X$ とすると、 $X$ は $1, 2, 3, 4, 5$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{5}$ でとる。これが母集団分布である。

手順2：母平均と母分散を求める。
母平均は
$m = E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$
また
$E (X^{2}) = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2}}{5} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = \frac{55}{5} = 11$
なので、母分散は
$σ^{2} = V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = 11 - 3^{2} = 2$
よって母標準偏差は $σ = 2$ である。

手順3：標本平均の標準偏差を求める。
復元抽出では各回に取り出す数字は互いに独立で、どれも母集団分布に従う。母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき、標本平均 $X ˉ$ の標準偏差は $σ (X ˉ) = \frac{σ}{n}$ である。 $n = 8$ なので
$σ (X ˉ) = \frac{2}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

答え： $σ (X ˉ) = \frac{1}{2}$

別解

母集団の平均は $m = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ 。母分散は $σ^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 3^{2} = 11 - 9 = 2$ なので母標準偏差は $2$ 。復元抽出なので標本平均の標準偏差は $\frac{σ}{n} = \frac{2}{8} = \frac{1}{2}$ 。検算: $V (X ˉ) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ より $σ (X ˉ) = \frac{1}{2}$ 。

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