統計的な推測の問題

袋 A からの取り出しと袋 B からの取り出しは互いに影響しないので、確率変数 $X$ と $Y$ は独立です。独立なときは
$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$
が成り立つので、$V(X)$ と $V(Y)$ を別々に求めて足します。

$V(X)$ を求める

$X$ は $1,3,5$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとります。
$$E(X)=1\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{3}+5\cdot \frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3$$
$$E(X^2)=1^2\cdot \frac{1}{3}+3^2\cdot \frac{1}{3}+5^2\cdot \frac{1}{3}=\frac{1+9+25}{3}=\frac{35}{3}$$
よって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{35}{3}-3^2=\frac{35}{3}-\frac{27}{3}=\frac{8}{3}$$

$V(Y)$ を求める

$Y$ は $2,4$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2}$ でとります。
$$E(Y)=2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{2}=3$$
$$E(Y^2)=2^2\cdot \frac{1}{2}+4^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{4+16}{2}=10$$
よって
$$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=10-3^2=1$$

$V(X+Y)$ を求める

$X$ と $Y$ は独立なので
$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$$

（確かめ）$X+Y$ のとりうる値は $3,5,5,7,7,9$ で、どれも確率 $\frac{1}{6}$ です。平均は $6$ で、偏差の 2 乗は $9,1,1,1,1,9$ なので、分散は $\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$ となり、一致します。

答え：$\frac{11}{3}$

X と Y は独立なので $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ が成り立つ。

$X$ は 1, 3, 5 を各確率 $\frac{1}{3}$ でとる。
$E(X)=\frac{1+3+5}{3}=3$
$E(X^2)=\frac{1+9+25}{3}=\frac{35}{3}$
$V(X)=\frac{35}{3}-9=\frac{8}{3}$

$Y$ は 2, 4 を各確率 $\frac{1}{2}$ でとる。
$E(Y)=3$
$E(Y^2)=\frac{4+16}{2}=10$
$V(Y)=10-9=1$

よって $V(X+Y)=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$。

検算: $X+Y$ の値は 3, 5, 7, 5, 7, 9 の 6 通りで、各確率は $\frac{1}{6}$。平均は $\frac{36}{6}=6$。偏差の2乗は 9, 1, 1, 1, 1, 9 で、合計 22 となるので分散は $\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$。これは上の結果と一致する。